極限の問題で困っています。

質問

lim {√(X^2+4X)-√(X^2+X)}
X→∞

=lim {√(X^2+4X)-√(X^2+X)}{√(X^2+4X)+√(X^2+X)}/{√(X^2+4X)+√(X^2+X)}
X→∞

=lim X^2+4X-(x^2+X)/{√(X^2+4X)+√(X^2+X)}
X→∞

=lim 3X/{√(X^2+4X)+√(X^2+X)}
X→∞

ここで一番次数の大きいX^2で全体を割ったのですが、そうすると分子3Xが3/Xになってしまうため答えになりません。答えは3/2なのですが…。

またこの様な問題はなぜ一番大きな次数で割るのでしょうか？教科書や参考書を読んだのですがよくわかりません。
わかりやすい説明があれば是非教えてください。お願いします。

回答No.2

kkkk2222 · ベストアンサー

P=√((x^2)+4x)-√((x^2)+x)
=√x{√(x+4)-√(x+1)}
=3√x/{√(x+4)+√(x+1)}
=3/{√(1+(4/x))+√(1+(1/x))}

x→∞
(4/x)→0
(1/x)→0
√(1+(4/x))→1
√(1+(1/x))→1

P→3/2

お礼

ありがとうございます☆無事解けました！

回答No.3

ka1234

こんにちは。

＞なぜ一番大きな次数で割るのでしょうか
極限と言うのは「限りなく近付く」という言い方をしますよね。
「ぴったり」どこに行くか、では無くてどこに「近付くか」、ということです。
奇妙ですよね。例えば、「今ぴったりいくら持ってる？」と聞かれたら
「5434円」と言う風に細かく答える事になりますが（これが今までの数学）、
「今大体いくら持ってる？」と聞かれたら「大体5000円くらい」と答えることに
なるわけです（これが極限の考え方です）。

ということで「大体」でいいんですが、
数学である以上、自分勝手に大体「5000円」では幾らなんでも駄目で、
相手に「何千何百円？」って百円単位で聞かれたら「5400円」って答えなければ
ならないのは分かりますよね。
その細かさは、お金であれば今の説明で充分分かりますが、
極限ではなかなか実感として分からないということになります。
慣れてくると段々と勘が働くようになりますが。

で、これからが「お約束」ですが、本問のような問題の「大体」というのは、
「有理化した後の最高次のみ」ということです。従って、

＞　3X/{√(X^2+4X)+√(X^2+X)}（有理化）
　≒3x/√x^2＋√x^2（最高次のみ。他は捨てる）
　＝3x/(x+x)
　＝3/2
となるわけです。上記の「≒」は答案では使っては駄目です。
分母と分子を最高次のxで割れば同じ事になります。

united-sqaure さんは最高次というのを少し誤解されていますが、
√x^2の次数は２次ではなくて１次です。
√は1/2次というのは知っていますよね。
全体で考えて√x^2＝x^(1/2×2)＝x^1=xとなります。
同様に√x^3 とあったら、xの3次ではなくて、xの3/2次ということになります。
「有理化して最高次で割る」のがポイントです。
問題解きまくって頑張って下さい。

お礼

お礼遅くなりました☆
ありがとうございます！がんばって解きまくってみます☆

回答No.1

ureds18

X^2+4XとX^2+Xは、ルートの中に入っているから、実際には次数は１以下になりますよ。分母分子をXで割ってみてください。この際、分母ではXをルートの中に入れますから、X^2にすることを忘れないでください。
一番大きな次数で割るのは、これ以下の次数の項を０に収束させるためではないでしょうか？
久しぶりに数学を考えたので、分かりにくい文章になってしまい、申し訳ないです。

お礼

お礼遅くなりました☆ありがとうございます。