数学極限の問題

質問

lim [x→-π/2] (cos2x)/(x+π/2)

lim [x→1] {(x+1)/(x-1)}^(x-1)

lim [x→e] e(logx-1)/x-e

すべて平行移動を用いて[x→0]にし、それぞれ

lim -(cos2x)/x

lim {(x+2)/x}^x

lim e{log(x+e)-1}/x

とするところまではできたのですが、この後の処理の仕方がよくわかりません。
答えはそれぞれ

1

e^2

1

だと書いてありました。
この答えに行き着くまでの過程を教えて頂けないでしょうか？
参考書を頼りに自分で色々な式変形をしてみたのですが、どうにも答えの数値にならず困っております。

何方か宜しくお願いします。

回答No.5

sunflower-san · ベストアンサー

数式を書くために、pdfを作りjpegにしてアップロードしました。
よかったら参考にしてください。(1/3)

お礼

私も答えが間違っているのかなと思っていたのですが、自信がなかったので助かりました

画像での見やすい解説ありがとうございました

回答No.6

sunflower-san

回答No.04の補足・訂正です。

・まず一つ目、ご指摘のとおり

t^(-t)
=e^(-tlogt)

が正しい変形です。-が抜けていました。すみませんでした。（以降の計算には影響しません）

・次に二つ目、なぜそう変形したのかについて
「指数関数はどんな多項式よりも早く増加するので」くらいの理由付けのつもりだったのですが、少し中途半端な式変形だったかもしれません。式変形に2行補足しました(ロピタルの定理を使います)ので、参考になればいいのですが。

色々分かりづらくてすみません。

お礼

体調を崩しお礼が遅くなってしまいました、申し訳ありません

追加の説明ありがとうございました
お陰できちんと理解、納得することができたと思います

画像での解説はわかりやすかったので、本当に助かりました
この度はありがとうございました

回答No.4

sunflower-san

数式を書くために、pdfを作りjpegにしてアップロードしました。
よかったら参考にしてください。(2/3)

補足

画像での解説は見やすく非常に助かります
ありがとうございます

5行目から6行目への式変形についてなのですが

t^(-t)
=e^(-tlogt)

とはならないのでしょうか？
極限、指数、対数が苦手なので、初歩的な質問でしたらすみません

また“と変形出来ますが、ここで”以降の式変形を何故そうするのかがよくわかりません
理解力が及ばず申し訳ないのですが、より詳しく解説して頂けたら有難いです

回答No.3

sunflower-san

数式を書くために、pdfを作りjpegにしてアップロードしました。
よかったら参考にしてください。(3/3)

お礼

こちらも見やすく助かりました

変形の仕方がわからず困っていましたが、理解できました

ありがとうございました

回答No.2

info22_

(1)
L=lim [x→-π/2] (cos(2x))/(x+π/2)
(定数)/0型なので発散。
>lim[x→0] -(cos(2x))/x 　←変数は変えた方が良い。
　↑定数/0型で発散。

>答えは… 1
　↑この答えは間違い。

(2)
L=lim [x→1] {(x+1)/(x-1)}^(x-1)
>lim [x→0] {(x+2)/x}^x
=lim [x→0] {1+(2/x)}^x

[x→0]は[x→0+]と[x→0-]の場合と分けて考える必要がある。
今、[x→0]が[x→0+]とし、2/x=tと変数変換すると
=lim [t→∞] {(1+t)^(1/t)}^2
1+t=uと変数変換すると
=lim [u→∞] {u^(1/(u-1))}^2
=lim [u→∞] {e^(log(u)/(u-1))}^2
=[e^{lim [u→∞](log(u)/(u-1))}]^2
∞/∞型なのでロピタルの定理適用
=[e^{lim [u→∞]((1/u)/1)}]^2
=[e^{lim [u→∞](1/u)}]^2
=(e^0)^2
=1

[x→0]が[x→0-]のときは省略。
>答えは…e^2
この答えは間違いです。

(3)
L=lim [x→e] e*(log(x)-1)/(x-e)
=e*lim [x→e] (log(x)-log(e))/(x-e)
x-e=tと変数変換すると
L=e*lim [t→0](log(t+e)-1)/t …(☆)

tを改めてxと置き換えると
>lim[x→0] e*{log(x+e)-1}/x
となります。0/0型なので(☆)にロピタルの定理適用して
L=e*lim [t→0](1/(t+e))/1
=e*(1/e)=1
>答えは… 1
と一致しますので答えは合っています。

補足

ありがとうございます、助かります

>=lim [u→∞] {u^(1/(u-1))}^2
=lim [u→∞] {e^(log(u)/(u-1))}^2

この変形が上手くいきません
e^logx=xという変換方法があることは先程調べて知りました
間にはどういった式が入るのでしょうか？

また、2つの問題をロピタルの定理を適用せずに解くことは可能でしょうか？

極限、指数、対数がとても苦手なので、初歩的なことを聞いていたらすみません

お手数お掛けしますが、教えて頂けると有難いです

回答No.1

Tacosan

順に:
・そもそも 1 にならない
・e の定義を知っているかどうかの勝負
・微分していい?

補足

>・そもそも 1 にならない

私も1にならず困っていたのですが、他の方の回答もふまえた上で理解できました
ありがとうございました

>・e の定義を知っているかどうかの勝負

eの定義を調べました
ですが極限や指数、対数がとても苦手で、この問題と上手く結び付けることができません…
理解が及ばず申し訳ないです

>・微分していい?

この問題が載っていた参考書には微分を使用した例題は一切載っていませんでしたし、微分を使うことをほのめかすようなことも書いていなかったので、使わないと思っていました
ですが他の方も微分を使っていたので、これは微分を使わなければ解けない問題なのでしょうか？