極限の問題

質問

極限の問題について質問です。よろしくお願いいたします。

Lim(n→0)xsin1/xの極限値を求める問題です。

私は、公式lim(n→0)sinx/x=1を使用したかったので、次のように計算しました。
lim(n→0)xsin1/x
= lim(n→0) (1/x)/ (1/x)×x×sin1/x
＝lim(n→0) (1/x)×x
＝１

でも、答えは絶対値を使い、
｜sin1/x｜≦1より、０≦｜ｘsin1/x｜≦｜x｜・１＝｜x｜
ｘ→０のとき、｜x｜→０だから、lim（x→０）xsin1/x=0
となっていました。

答えの方法も順を追ってみていけば、理解できましたが、自分の方法が間違っているとも思いませんが、やはりどこかがおかしいのだと思います。
そこで質問なのですが、私の方法どこが間違っているのでしょうか？？？よろしくお願いします。

回答No.3

postro · ベストアンサー

＞４、lim(x→∞)sinx/x=1　とか
＞５、lim(x→0)ｘ*sin(１/x)=1 が正しいとは言えない。
４と５は同じことを言っています。
＞ｘ→０のとき、sin○/ ○=1のとき○の中が一致していれば成立してると思ってましたが。
↑これは誤解です
○→０のとき、sin○/ ○=1の○の中が一致していれば成立してる←これは正しいです。
でも○が０でなく別なものに近づいていったらsin○/ ○=1にはならないです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

繰り返し読ませていただいてやっとわかりました。
が、今までずっとそう思いこんでいた自分が恥ずかしいです。
それもいままでたくさんの問題を解いてきて気づかなかったとは。。。
今回気づいてよかったです。

再度確認しなおします。ありがとうございました。

回答No.2

postro

＃１です。別な言い方で説明すると、
lim(x→0)sinx/x=1　が正しいから
lim(x→∞)ｘ*sin(１/x)=1 が正しいと言ってもいいが、
lim(x→0)sinx/x=1　が正しいからといって
lim(x→∞)sinx/x=1　とか
lim(x→0)ｘ*sin(１/x)=1 が正しいとは言えない。

お礼

回答ありがとうございます。

１、lim(x→0)sinx/x=1　が正しいから
２、lim(x→∞)ｘ*sin(１/x)=1 が正しいと言ってもいいが、
３、lim(x→0)sinx/x=1　が正しいからといって
４、lim(x→∞)sinx/x=1　とか
５、lim(x→0)ｘ*sin(１/x)=1 が正しいとは言えない。

１、２、３、が正しくて、４が正しくないのはわかりますが、どうして、５が正しくないのかわかりません。
ｘ→０のとき、sin○/ ○=1のとき○の中が一致していれば成立してると思ってましたが。

回答No.1

postro

＞私は、公式lim(n→0)sinx/x=1を使用したかったので、次のように計算しました。
ｎじゃなくてx ですね。つまり
公式lim(x→0)sinx/x=1
この公式を見ると、分母及び分子のsinの中が限りなく０に近づく。
それに対してこの問題のsinの中を限りなく大きくする。
これは根本的に違う話だから、そもそもこの公式lim(x→0)sinx/x=1をこの問題に使うのは無理があります。
goodoさんの解答はその０に近づけるのと限りなく大きくするのと混同しているところで間違えています。