数学の極限の問題です。

質問

(1)lim(x,y)→(0,0) sinxy/(x^2+y^2)^0.5
(2)lim(x,y)→(0,0) xy^3/(x^2+y^4)
(3)lim(x,y)→(0,0) (x^3+y^3)/(x^2+y^2)
(4)lim(x,y)→(0,0) xylog(x^2+y^2)

これらの問題の解き方を教えて下さい。
(2)の分子は(xy)^3ではなくxかけるy^3です。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

lim(x,y)→(0,0) というのは、「√(x^2+y^2)→0 のとき常に」
という意味です。 (x,y) = (r cosΘ, r sinΘ) と置換すれば、
「r→0 のとき Θ の値に依らず」とも言い換えられます。

(sin(xy))/(x^2+y^2)^0.5 = {(sin((r^2)cosΘsinΘ))/r^2}r → 0.
x(y^3)/(x^2+y^4) = {cosΘ(sinΘ)^3/((cosΘ)^2+(r^2)(sinΘ)^4)}r^2 → 0.
(x^3+y^3)/(x^2+y^2) = {((cosΘ)^3+(sinΘ)^3)/((cosΘ)^2+(sinΘ)^2)}r → 0.
xylog(x^2+y^2) = {cosΘsinΘ}(r^2)log(r^2) → 0.
となります。どれも収束します。

最後の (r^2)log(r^2) → 0 は、t = -log(r^2) と置換して、
lim[r→0] (r^2)log(r^2) = lim[t→+∞] (e^-t)(-t) とすれば
解ると思います。