代数の問題おしえてください

質問

テストでこのような問題が出そうでわからないのでおしえてください。

(1)Znの元a+nZを[a]と表すことにする。
[a][b]=[ab]によりZnに積が定義されていることを示せ。

(2)[a][b]=[1]とab+nx=1となるx∈Zが存在することは同値なことを示せ。これより[a]がZnの中で乗法に関して逆元を持つための条件は、aとnが互いに素であることを示せ

(3)(2)の条件を満たす剰余類[a]をnと素な剰余類という。Zn*をZnのnと素な剰余類の全体とする。Zn*は乗法に関して群になることを示せ。

回答No.3

misumiss

(1) Z_n の定義が述べられていませんが, a + nZ が元ということは, Z/nZ と同一視してかまわないでしょう.
乗法に関して可換モノイドになりますが, この問題では, そこまで証明する必要はありません.
ただ, a, b ∈ Z より ab ∈ Z ですが, それだけを述べて点数がもらえるわけではありません.
[a] = [c] かつ [b] = [d] であるにもかかわらず, [ab] = [cd] とならない例が存在すれば, [a][b] = [ab] という定義は破綻します.
well-defined になっていることを, きちんと証明してください.

(2) [a][b] = [1] と ab - 1 ∈ nZ は同値です.
よって, この問題は初等整数論の問題に過ぎず, 高校でも頑張れば証明できます.
ユークリッドの互除法あたりを中心に, 初等整数論を復習してください.
a と n が互いに素であるとき, b と n も互いに素であることは, 当然のことではありますが, きちんと意識してください.

(3) (Z_n)* が乗法に関して閉じていることさえ証明すれば, 結合法則と単位元の存在は明らかだし, (2) より逆元の存在も明らかです.

回答No.2

alice_44

他人の回答に勝手に追記:
No.1 さんは、Zn が解らないから教えて欲しい
と言ってる訳じゃないからね。
今回質問の問題の答えは、講義や成書で
Zn を定義するときに、まんま解説する事項
だということ。ノートなり教科書なりで
Zn の定義を確認すれば自動的に解ることで、
解らないのは、それをしていないから。
だから、質問文に Zn が何だかを述べずに、
記号で書きっぱなしにするような聞き方では
いけないってこと。
Zn の定義を確認して、A No.1 の補足に書いてごらん。
誠意を見せれば、彼が教えてくれるよ。たぶん。
(私は、書かないけど。)

回答No.1

B-juggler

一つ、教えてくれるかな？　これだけでは答えようもないので。

Ｚｎ　って言うのは、何かな？

二項代数？　群？　それともただの集合？

あるいはどういった集合？　そういうことも何も定義されてない状態で、

この問題だけ出されても、お教えしようがないよ。

元代数学の非常勤講師。　(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

仮に、実数全体の集合としても、

ａ＋ｎＺ　が元になるっていうのが今度は分からない。

ちゃんと定義を出してくれるかな。