代数に関する問題です（大学レベル）

質問

まず記号の説明ですが、
SLn(K)はdet=1となるようなn×n行列全体
Zを整数全体
Z/NZをZをNZで割った剰余類とします

問題
Nを自然数とする
SL2(Z)からSL2(Z/NZ)への写像を
____a__b____________a+NZ__b+NZ
（_________）_→_（_________________） と定めたとき
____c__d____________c+NZ__d+NZ

この写像が全射になることを示せ。

というものです。
ユークリッドの互除法を使うようですがなかなか解けません。
ヒントになるようなことでも結構ですから
アドバイスをお願いします。

回答No.3

shushou

No.2を書いたときは、ｃとｄを互いに素にできることは
一般的にもまあ楽に示せるんだろうなあ、とか
無責任にも思っていたのですが、
いざ証明しようとなるとなかなかできないでいます。

ｃとｄを互いに素にできない、と仮定すると
任意の整数u,vについて
(c+uN,d+vN)>1　
となるわけですが
このままでは考えづらいのでu=0として
「任意の整数ｖについて(c,d+vN)>1　」
と仮定して何か矛盾を出す、という方針で考えました。
(c,d,N)=1 　であることを使ってすぐにできるんだろうな
と思っていたのですが・・・
（(c,d,N)=1であることはNo.1の（＊）から分かります。）

・・・困り度３なのに、申しわけないです。

補足

やっぱり難しいですよねっこれ！
syusyouさんが言うようにこの問題は次の問題と同値になりました。
「(c+uN,d+vN)=1を満たすような u,v∈Zが存在することを示せ」
さらにこの時満たしている条件は(c,d,N)=1.
背理法でも考えてみましたが、やっぱり上手くいきませんでした・・
困り度が上昇傾向になってきました（笑）　
とりあえず考えてる方向性に間違いが無いと思うことができたのが収穫かも・・

回答No.2

shushou

なるほど、鋭い！
またポカをやってしまったかと一瞬ひやっとしました。
しかしご安心を。修正できそうです。

私の回答の「ｄとｃは互いに素です」を
「ｄとｃは互いに素にすることができる」
に変えさせてください。
どういうことかというと、hismixさんの例でいうと
a=5,b=2,c=6,d=4,N=7
のｄを11に変えてしまえばいいのです。
そうすれば、(c,d)=1になってくれます。
どうしてこんなことをしていいのかというと
mod 7で考えているのですから
SL2(Z/7Z)∋((5),(2),(6),(4))=((5),(2),(6),(11))
だからです。
分かりましたでしょうか。

なお、この例の場合
（5,9,6,11)→((5),(2),(6),(11))
となります。

補足

syusyouさんまたご回答してくれてありがとうございます。
今度は「ｄとｃは互いに素にすることができる」ということですが
今の例では確かにdをずらせば、互いに素になることがわかりました。
けどこれを一般的に証明しなくてはいけないと思うのですが・・（困）

回答No.1

shushou

まず、(a)でZ/NZの代表元を表す、すなわち(a)=a+NZとします。
また、2×2行列を
((1,1)成分,(1,2)成分,(2,1)成分,(2,2)成分）
で表すことにします。例えば単位行列は(1,0,0,1)です。

((a),(b),(c),(d))∈SL2(Z/NZ) をとると
ad-bc=kN+1 (ｋは整数）　・・・・・・（＊）
となっているわけですが、示すべきことは
「a,b,c,dを同じ剰余類の中でうまく取り直すと
（すなわち、たとえばaをa+3Nに変えるとか）
（そして取り直したものをa',b',c',d'と書くことにすると）
a'd'-b'c'=1
にすることができる」ということですね。

さてｄとｃは互いに素です。
（そうでないと（＊）に矛盾します）
Ad-Bc=1 を満たすA∈(a),B∈(b) が存在する
ということを示せば十分ですね。
ところで
dx-cy=1 を満たす整数x,yはｄとｃが互いに素なので無数に存在しますが
ｘはｃ個おきに、ｙはｄ個おきに現れることは分かるでしょうか。
このことが分かれば、あとはｃとｄとNが互いに素であることから
Ad-Bc=1 を満たすA∈(a),B∈(b) が存在する
ことが言えます。

分かりにくい説明ですみません。質問があれば遠慮なくどうぞ。

補足

回答ありがとうございます！！本当にうれしいです。
１つ間違いがあったので恐縮ながら質問させていただきます
回答の上から８行目からの「」内は名言。まさにその通りです！
間違いは回答の１３行目
「ｄとｃは互いに素」というところにあります。
これは一般には言えないと思います。
例えば、a=5,b=2,c=6,d=4,k=1,N=7のとき(c,d)=2となって
互いに素にはなりません。
だから問題は(c,d)=m>1、つまりcとdの最小公倍数がmのときだと思います。
syusyouさん！また回答をまってます！！