代数学について

質問

A={p_0 + p_1x +p_2x^2 +・・・・+p_nx^n | p_0,・・・p_nは実数, n=0,1,2・・・}

とおく。a,b∈Pに対し、

a〜b を 「a-b が、x^2+1で割り切れる」とする。

[a] , [b]∈A/～ に対し、

それらの和を [a] + [b] = [a+b]

積を [a] [b] = [ab]

によりwell-definedかどうか示せ。

参考書を見ながら色々やっているのですが、イマイチ上手く行きません。
解説をお願いしたいです。

回答No.16

tmppassenger · ベストアンサー

> 以上のような形で大丈夫でしょうか
はい、大丈夫です。

> [g]∈Aは明らかに分かるとして大丈夫でしょうか？
何がひっかかっているかがよく分かりませんが、はい。

> これは代表元のとり方を変えているだけで、
> 任意の[f]の代表元で成り立つという理解で大丈夫でしょうか。
そのために積がwell-definedだという証明を事前にしたのです。

お礼

大変遅くなってしまい申し訳ありません！
ありがとうございました！

回答No.15

tmppassenger

計算間違いというか、良く分からないことをしていますね...

先ずずっと言っている通り、「割る」と言っても割り切れる訳ではなく、商と余りを求めるのです。
具体的には、

(-1/(a^2+b^2)) {(aX+b)(aX-b)} = (X^2 + 1) Q(X) + R(X) 但し、 Q(X), R(X)はXの多項式、R(X)は一次以下

となるQ(X), R(X)を求めるのです。で、今はR(X)は実は定数（0次式）、もっというと1になるはず、と言っているのです。ここまで分かっていますか？

なので、そもそも
> -(a^2 X^2-b^2)/(a^2+b^2) ÷(x^2+1)
という書き方が出来る訳ではありません。「商と余りを求める」のですから。なのでこの時点で違いますが、更に

> -(a^2 X^2-b^2)/(a^2+b^2)(x^2+1)
> -(a^2 X^2-b^2)/(a^2+b^2)(x^2)+(a^2+b^2)
なにか分配法則のようなものを使いましたか？上は -(a^2 X^2-b^2)/ {(a^2+b^2)(x^2+1)} のつもりで書いたのでしょう？(x^2+1)は「分母」の方にあって、そういう風には式変形できませんよ。
（ただ、もう一度書いておきますが、あくまで「商と余りを求める」のですから-(a^2 X^2-b^2)/ {(a^2+b^2)(x^2+1)} という風な計算をそもそもしたい訳ではありませんが。）

補足

(-1/(a^2+b^2)) {(aX+b)(aX-b)} = (X^2 + 1) Q(X) + R(X) 但し、 Q(X), R(X)はXの多項式、R(X)は一次以下

となるQ(X), R(X)を求めるのです。で、今はR(X)は実は定数（0次式）、もっというと1になるはず、と言っているのです。

→R(X)=1として
(-1/(a^2+b^2)) {(aX+b)(aX-b)} = (X^2 + 1) Q(X) + 1
より
(-1/(a^2+b^2)) {(aX+b)(aX-b)}-1 = (X^2 + 1) Q(X)

からQ(X)を求めれば良かったんですね。

計算していくと、
Q(X)=-a^2/(a^2+b^2)となりました。(a,bは少なくともどちらか一方は0でないのでこう書ける)

つまり、[f]の代表元として取ってきた(aX+b)に対して、

[g]の代表元として、
(- 1/(a^2+b^2))(aX-b)を取れば、

(aX+b) (- 1/(a^2+b^2))(aX-b) -1 =(X^2+1) Q(X)となり、
これは (fg-1) が (X^2+1) で割り切れたことを表しているので、

fg ~ 1 が成り立つ。 よって[f][g] = 1となる[g]∈Aが存在したことが示せた。

以上のような形で大丈夫でしょうか。

また質問として
[g]∈Aは明らかに分かるとして大丈夫でしょうか？

[f]の代表元として(aX+b)を取ってきましたが、これは代表元のとり方を変えているだけで、任意の[f]の代表元で成り立つという理解で大丈夫でしょうか。

回答No.14

tmppassenger

計算した過程を書いてください。

補足

k=-1/(a^2+b^2)として、
(aX+b) {k(aX-b)} = k{(aX+b)(aX-b)} をx^2+1で割る、つまり

-(a^2 X^2-b^2)/(a^2+b^2) ÷(x^2+1)となり

-(a^2 X^2-b^2)/(a^2+b^2) × 1/(x^2+1)

-(a^2 X^2-b^2)/(a^2+b^2)(x^2+1)

-(a^2 X^2-b^2)/(a^2+b^2)(x^2)+(a^2+b^2)
となるので余りが1になりませんでした。

どこか計算間違いをしているのでしょうか。

回答No.13

tmppassenger

> e = (aX+b)(aX-b)をx^2+1で割った余りが -a^2-b^2であるのだから、(aX+b) {k(aX-b)} = k{(aX+b)(aX-b)} = keをx^2+1で割った余りは分かったら何が分かるのですか？

だから既に書いた通り、kを調整して余りを1にすることが出来るでしょ？という事です、というのをここまで書かずに自分で気付いてほしかったのです。

補足

だから既に書いた通り、kを調整して余りを1にすることが出来るでしょ？という事です、というのをここまで書かずに自分で気付いてほしかったのです。

→やりたいこと自体は理解出来たのですが、
k=-1/(a^2+b^2)として、
(aX+b) {k(aX-b)} = k{(aX+b)(aX-b)} をx^2+1で割ると1になりますか？
計算してもならないと思うのですが、、、

回答No.12

tmppassenger

> よって、[f]の代表元として一次式以下の多項式が取れる。ってことであればわかりました。

> [f]の代表元として必ず一次式以下の多項式が取れるというわけではありませんよね
だから、こう書いてしまうと、『[f]の代表元として、必ず一次式以下の多項式が「取れる」（存在する）。』
[f] の代表元（つまりg∈[f]なるg）は一次以下とは必ずしも限らないが、それでも h∈[f]で、hが一次以下のものは「必ず存在する」。

>計算が簡単な一次式以下の多項式をとるということでしょうか。
はい。

> そもそもなぜ最初の式は等号で結ばれているのですか？

(aX+b) {k(aX-b)} = k {(aX+b)(aX-b)} は当然成り立ちますよね？
で、e = (aX+b)(aX-b)をx^2+1で割った余りが -a^2-b^2であるのだから、(aX+b) {k(aX-b)} = k{(aX+b)(aX-b)} = keをx^2+1で割った余りは分かるでしょう？というヒントのつもりで書いたのです。

補足

e = (aX+b)(aX-b)をx^2+1で割った余りが -a^2-b^2であるのだから、(aX+b) {k(aX-b)} = k{(aX+b)(aX-b)} = keをx^2+1で割った余りは分かるでしょう？というヒントのつもりで書いたのです。

→e = (aX+b)(aX-b)をx^2+1で割った余りが -a^2-b^2であるのだから、(aX+b) {k(aX-b)} = k{(aX+b)(aX-b)} = keをx^2+1で割った余りは分かったら何が分かるのですか？

回答No.11

tmppassenger

> これはどう計算したのでしょうか

すでに「(aX+b)(aX-b) の計算結果のx^2 + 1による剰余を考えよ」と書いてあります。(aX+b)(aX-b) をx^2+1で割った時の商と余りは既に計算したのでしょう？それをk倍しただけです。

(sはある多項式）は忘れてください。

補足

すみません。前回のものに答えてないものがありました。

[f]の代表元として例えばhを取ってきた時、hをx^2+1で割った余りをkとすると、h ~ k なのは分りますよね？

→h =(x^2+1) p + k となる実係数多項式p,kが存在し、h-k =(x^2+1)p となるのでh~kですよね。
それでkは(x^2+1)より次数が小さくなければいけないからkは一次式以下の多項式がになる。

よって、[f]の代表元として一次式以下の多項式が取れる。ってことであればわかりました。
[f]の代表元として必ず一次式以下の多項式が取れるというわけではありませんよね？
でも今回代表元の取り方によらないことを既に示しているので、計算が簡単な一次式以下の多項式をとるということでしょうか。

(aX+b) {k(aX-b)} = k {(aX+b)(aX-b)
この式の左辺を
(aX+b) {k(aX-b)} = k(-a^2 - b^2) + (ka^2)(x^2 +1)
と変形したのは分かりますが、そもそもなぜ最初の式は等号で結ばれているのですか？

すでに「(aX+b)(aX-b) の計算結果のx^2 + 1による剰余を考えよ」と書いてあります。(aX+b)(aX-b) をx^2+1で割った時の商と余りは既に計算したのでしょう？それをk倍しただけです。

→よく見たらそうでした。すみません。

回答No.10

tmppassenger

(aX+b) {k(aX-b)} = k(-a^2 - b^2) + (ka^2)(x^2 +1) (sはある多項式）で、aとbの少なくとも一方は0でないんだから、kに適当な値を設定すれば、(aX+b) {k(aX-b)}をx^2 + 1で割った余りを1にすることが出来るでしょう？

> [f]の代表元として、1次以下の多項式が取れるのはなぜですか？
[f]の代表元として例えばhを取ってきた時、hをx^2+1で割った余りをkとすると、h ~ k なのは分りますよね？

補足

(aX+b) {k(aX-b)} = k(-a^2 - b^2) + (ka^2)(x^2 +1) (sはある多項式）

→これはどう計算したのでしょうか。またsはkのことですか？

aとbの少なくとも一方は0でないんだから、kに適当な値を設定すれば、(aX+b) {k(aX-b)}をx^2 + 1で割った余りを1にすることが出来るでしょう？

→上の計算が成り立つならば、k=-1/(a^2+b^2)とすれば(aX+b) {k(aX-b)}をx^2 + 1で割った余りを1にすることができます！

回答No.9

tmppassenger

そこからは自分で考えて欲しかったが....

(aX+b) {k(aX-b)} = k {(aX+b)(aX-b)} kを調整せよ

補足

それ計算するとk=0となるのですが、どうしたら良いのでしょうか。

また、[f]の代表元として、1次以下の多項式が取れるのはなぜですか？

回答No.8

tmppassenger

先ず [f] の代表元として、1次以下の多項式が必ず取れることに注意せよ（何故か？）

[f] (≠ [0]) の代表元 aX+b を取る。[f] ≠ [0]なので、aとbの少なくとも一方は0でない。
この時、 (aX+b) (cX+d) ~ 1 となるcX+dがあれば、[f] [cX+d] = [1] となるので、そのようなものを探せばよい。

ヒントとして、(aX+b) (aX-b)を計算してみよ（その計算結果のx^2 + 1による剰余を考えよ）。

補足

先ず [f] の代表元として、1次以下の多項式が必ず取れることに注意せよ（何故か？）

このことについて考えてみたのですが、わかりませんでした。ヒントを貰えないでしょうか。

この時、 (aX+b) (cX+d) ~ 1 となるcX+dがあれば、
[f] [cX+d] = [1] となるので、そのようなものを探せばよい。

(aX+b) (aX-b)を計算してみよ（その計算結果のx^2 + 1による剰余を考えよ)。

ヒントの通り、(aX+b)(aX-b)=a^2 X^2 -b^2
そしてx^2+1で割って見たところ
-b^2-a^2となったのですが、ここからどう考えればいいのでしょうか？

回答No.7

tmppassenger

積の方も、その回答で問題ありません。

補足

ありがとうございます。
もうひとつ教えていただきたいのですが、
[ f ]∈A(f≠[ 0 ] )に対し、[f][g]=[1]となるg∈Aが存在することを示せ。

これはどのように示すのか教えていただきたいです。

回答No.6

tmppassenger

> 積の方も見てもらっても良いですか？
補足にお願いします

補足

[fh] = [gl] を示す。
すなわち、
ある多項式cが存在し、fh-gI=(x^2+1)cとなることを示せばよい。

fh-gI = fh+(-gh+gh)-gI

=fh - gh + gh - gI
=(f - g)h + (h -I)g
=(x^2+1)z h + (x^2+1)a g
=(x^2+1)(zh + ag)

zh+agは1変数多項式の積と和なので明らかに1変数多項式になる。

よってzh+ag=cとすると

多項式cが存在し、fh-gI=(x^2+1)cとなることが示された。
よって[fh] = [gl] がなりたつ。

よって積に関してwell-definedである。