代数学の直積に関する質問です

質問

代数学の質問です
<a>,を<b>1と異なる２つの巡回群とするとき、<a>×<b>が巡回群であるための必要十分条件は、o(a),o(b)がともに有限で、かつ互いに素であることを示せ

資料を参考にしながら、十分条件は示すことができ

たと思うのですが、必要条件の証明の方法がわかりません

ちなみに、十分条件の証明として、
<a>×<b>の元(a,b)の位数は、(a,b)^s=(a^s,b^s)が単位元(1,1)に等しいためには、a^s,b^sがともに単位元である必要があるため、sがm,nの公倍数であることと同値である。m,nは互いに素であるためsがmnの倍数であることと同値である

という証明で良いでしょうか

よろしくお願いします

回答No.2

muturajcp

o(a),o(b)有限&互いに素→<a>×<b>が巡回群の証)
<a>の位数o(a)=m有限
<b>の位数o(b)=n有限
とすると,
<a>×<b>の位数はmnとなる
(a,b)の位数をsとすると
(a,b)^s=(a^s,b^s)=(1,1)
だからsはmとnの最小公倍数となる
m,n互いに素とすると
m,nの最小公倍数はmnとなるから
s=mn
(a,b)が生成する巡回群((a,b))の位数sと
<a>×<b>の位数mnが等しくなるから
<a>×<b>は巡回群となる

<a>×<b>が巡回群→o(a),o(b)有限&互いに素の証)
a≠1,b≠1
<a>×<b>が巡回群で
生成元を(a^j,b^k)とすると
a^jは<a>の生成元だからa→a^jは<a>の内部同型写像
b^jは<b>の生成元だからb→b^kは<b>の内部同型写像
(a,b)→(a^j,b^k)は内部同型写像だから
(a,b)も<a>×<b>の生成元となる
(1,b)=(a,b)^s=(a^s,b^s)
(a,1)=(a,b)^t=(a^t,b^t)
となるs,tがある
<a>の位数を無限と仮定すると
a≠1→s=0→b=1となってb≠1に矛盾するから
<a>の位数o(a)=m有限
<b>の位数が無限と仮定すると
b≠1→t=0→a=1となってa≠1に矛盾するから
<b>の位数o(b)=n有限
(a,b)の位数はmとnの最小公倍数で
<a>×<b>の位数はmnだから
生成元(a,b)の位数はmnとなり
mとnの最小公倍数はmnとなるから
mとnは互いに素となる

回答No.1

koko_u_u

> という証明で良いでしょうか

だめです。「巡回群」であることはどこで示されているのですか？