既約剰余類群の証明

質問

１つめは剰余類の掛け算。2つめは互除法の原理がわからないので質問します。
読んでいる本では、(a,b)でaとbの最大公約数を表すことにし、(k,n)=1⇔ kとnは互いに素。￣0(本では0の上に￣)を余りが0の類としています。
定義　Z/nZの部分集合　{￣K|(k,n)=1,1≦k≦n-1}は×に対して群になっている。これを(Z/nZ)*と書き、既約剰余類とよぶ。と書かれていて。
×に関して閉じていることを確認しましょう。nと互いに素であるk,lがあるとき、その積klもnと互いに素になります。klをnで割った商をq,余りをmとすると、
kl=qn+mと書くことができます。kl≡qn+m (mod n) ∴kl≡m (mod n)より、ここからが1つめのわからない計算です。￣ｋ×￣ｌ=￣ｍ　自分は、n=10,k=3,l=9,m=7 3×9=2×10+7として3を２で割った余り、9を２で割った余りそれらの積が、7を２で割った余りに等しいかを計算したのですが、２以降3,4,5・・・nについても成り立つと思っていました。しかし、n=10,k=3,l=9,m=7のとき、3と9を３で割った余りの積0、7を３で割った余り1と両辺は一致しません。この場合￣ｋ×￣ｌ=￣ｍは3を10で割った余り、9を10で割った余りそれらの積が、7を10で割った余りに等しいかを計算したときだけ成り立つことを書いているのかがわかりません。￣ｋ×￣ｌ=￣ｍの具体的な計算を教えてください。またこの後が、2つめのわからない点です。互除法の原理　a,bを自然数とするaをbで割った余りがrのとき、(a,b)=(b,r)　より(m,n)=(kl,n)=1もわかりません。m=kl-qn よりｍをnで割った余りkl(klはｎと互いに素)から、(m,n)=(n,kl)と考えました。kl≡m (mod n)より単純にｍをklに書き換えただけとも思いました。(m,n)=(kl,n)=1を説明してください。
本では、(m,n)=(kl,n)=1よりmもnも互いに素になります。ですから、×について閉じています。と続きます。

回答No.1

jcpmutura

Z/10Zは次のように10個の要素からなる集合(巡回群)です

Z/10Z={(~0),(~1),(~2),(~3),(~4),(~5),(~6),(~7),(~8),(~9)}

その内10と素な剰余類の集合を

S={(~1),(~3),(~7),(~9)}

とします

(~1)={10a+1|a∈Z}={10で割った余りが1となる全整数の集合}
(~3)={10b+3|b∈Z}={10で割った余りが3となる全整数の集合}
(~7)={10c+7|c∈Z}={10で割った余りが7となる全整数の集合}
(~9)={10d+9|d∈Z}={10で割った余りが9となる全整数の集合}
だから

(10a+1)(10b+3)=(10b+3)(10a+1)=10(10ab+3a+b)+3∈(~3)→(~1)*(~3)=(~3)
(10a+1)(10c+7)=(10c+7)(10a+1)=10(10ac+7a+b)+7∈(~7)→(~1)*(~7)=(~7)
(10a+1)(10d+9)=(10d+9)(10a+1)=10(10ad+9a+b)+9∈(~9)→(~1)*(~9)=(~9)
(10b+3)(10c+7)=(10c+7)(10b+3)=10(10bc+7b+3c+2)+1∈(~1)→(~3)*(~7)=(~1)
(10b+3)(10d+9)=(10d+9)(10b+3)=10(10bd+9b+3d+2)+7∈(~7)→(~3)*(~9)=(~7)
(10c+7)(10d+9)=(10d+9)(10c+7)=10(10cd+9c+7d+6)+3∈(~3)→(~7)*(~9)=(~3)

となります

aをbで割った余りがrの時(a,b)=(b,r)
で
kl=qn+m
だから
klをnで割った余りはm
だから
a=kl,b=n,r=m
だから
(kl,n)=(n,m)

(kl,n)=1
だから
∴
(n,m)=(kl,n)=1

お礼

Z/10Zの具体的な剰余類についての、計算ありがとうございます。