代数学☆イデアルの問題

質問

Ｎ：自然数
Ａ，Ｂ：イデアル　のとき
ＡＢ＝｛ａ１・ｂ１＋・・・＋ａｎ・ｂｎ
　　　　　　　　｜ａｉ∈Ａ，ｂｉ∈Ｂ（ｉ＝１，・・・，ｎ）ｎ∈Ｎ｝
とする。

Ｒ：可換環
Ｍ１，Ｍ２：Ｒのイデアル
Ｍ１＋Ｍ２＝Ｒ　　　　　　　のとき
Ｍ１Ｍ１＋Ｍ２Ｍ２＝Ｒ　　　を示せ。

という問題なんですが、
Ｍ１Ｍ１＝Ｍ１，Ｍ２Ｍ２＝Ｍ２　より　Ｍ１Ｍ１＋Ｍ２Ｍ２＝Ｒ
と答えたら、間違いでした。
また、
Ｍ１の元とＭ２の元が互いに素であることを使う
ということをヒントとしてもらったのですが、わかりません。

アドバイスをください！！よろしくお願いします。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

まずＭ１Ｍ１＝Ｍ１は成立しません。Rが有理整数環Z、M1 が2の倍数の集合の時、M1M1は4の倍数の集合です。
Rが有理整数環Zであるときに
　M1M1＋M2M2 = R
の証明を書きます。M1=(m), M2=(n) であるときm^2とn^2が互いに素でないとすれば

　a|m^2, a|n^2

となる単元でないaが存在します。aを素因数分解したときの因子の一つをpとすると

　p|m^2, p|n^2
が成り立ちます。pは素数なので

　p|m, p|n

これはmとnが互いに素であることと矛盾します。したがってm^2とn^2は互いに素です。単項イデアル整域でこれが成立しますが、一般の可換環で成立するかどうかは分かりません。

お礼

ありがとうございます！！
う～ん、結構難しいですね。
単項イデアル整域でないときも考えてみます。

お礼が遅くなってしまってすみませんでした。

回答No.2

achar1

まず、Ｍ１＋Ｍ２＝Ｒ、1∈Ｒより、1＝ｘ＋ｙ　ｘ∈Ｍ１、ｙ∈Ｍ２　と表せる。

任意のｚ∈Ｒを、ｚ＝a＋b　a∈Ｍ１、b∈Ｍ２　と表す。

ｚ＝ｚ*1*1＝(a＋b)(ｘ＋ｙ)(ｘ＋ｙ)＝(a＋b)(ｘｘ＋2ｘｙ＋ｙｙ)＝(aｘx＋2aｘｙ＋bｘｘ)＋(aｙｙ＋2bｘｙ＋bｙｙ)

ここで、Ｍ１、Ｍ２がＲのイデアルであるから、

ｘx∈Ｍ１、ｘｙ∈Ｍ１、bｘ∈Ｍ１、aｙ∈Ｍ２、ｘｙ∈Ｍ２、ｙｙ∈Ｍ２　

となるので、

aｘx＋2aｘｙ＋bｘｘ∈Ｍ１Ｍ１、aｙｙ＋2bｘｙ＋bｙｙ∈Ｍ２Ｍ２

となる。
よって、ｚ∈Ｍ１Ｍ１＋Ｍ２Ｍ２　となるので、題意は示された。

なんか、こじつけみたいな証明ですけど。。。。。

お礼

ありがとうございます！！
ほ～！！こんなやり方もあるんですね。
参考にさせていただきます。

お礼が遅くなってしまってすみません。