多項展開式の係数

質問

（１＋x＋x＾２）＾５を展開したときのx＾３の係数を求めてください。

｛（１＋x）＋x＾２｝＾５のやり方でしてくださるとうれしいです。
私が知る限り二通りのやり方があると思うので
それも分かるようでしたら書いてください。

お手数ですが、お願いします。

回答No.2

info22_

私が
ttp://okwave.jp/qa/q8113626.html
のANo.2で回答したやり方でないやり方。

{(1+x)+x^2}^5の展開過程でx^4以上の次数の項を除いていく方法
{(1+x)+x^2}^5
=(1+x)^5+5(1+x)^4*x^2+ …
=1+5x+5C2*x^2+5C3*x^3+…+5(1+4x+ …)*x^2+ …
=1+5x+10x^2+10x^3+5(x^2+4x^3) + …
=1+5x+15x^2+30x^3 + …
従って、元の式の展開式のx^3の項の係数は「30」である。

回答No.1

alice_44

私が知る限り、
{(1+x)+x^2}^5 でやるやり方と
{1+(x+x^2)}^5 でやるやり方と
{x+(1+x^2)}^5 でやるやり方とがあるが、
どれでやっても、
入れ子のベキ乗を展開して整理すると、
多項定理で処理したのと同じ結果になる。

{1+x+x^2}^5 = Σ {5!/(a!b!c!)}(1^a)(x^b)(x^2c)
ただし、Σ は a+b+c=0 となる非負整数 a,b,c に渡る和。

(1^a)(x^b)(x^2c) が x^3 になるのは
(a,b,c) = (2,3,0), (3,1,1) のときなので、
求める係数は、
5!/(2!3!0!) + 5!/(3!1!1!) = 120/(2×6×1) + 120/(6×1×1) = 30.