多項定理

質問

(3x + 1/x + 2) ^ 4　の展開式において、定数項を求めよ。
(x - x^2 + 2/x + 1) ^ 3　の展開式において、定数項を求めよ。

この問題がわかりません。
xの前に3がついている場合や、-x^2のように係数がマイナスの場合、どうやって一般項にすれば良いのでしょうか？

回答No.3

R_Earl · ベストアンサー

> 更に、x^2の前のマイナスを一般項のどこに入れたら良いか、わかりません。

(a + b + c + d)^3の展開式の一般項は

3!/L1!L2!L3!L4! (a)^L1 (b)^L2 (c)^L3 (d)^L4

ですよね。
上記の展開方法は、展開前の式のかっこの中身が、全部足し算の時に使えます。
なので引き算を含む式にはそのまま適用できないのですよね。
だったら、「足し算だけの形」にもっていけば良いんです。

(x - x^2 + 2/x + 1)^3
= {(x) + (-x^2) + (2/x) + (1)}^3

これで全部足し算になりました
(ANo.1の最後の行で言っていることは、これと同じです)。
なのでこの展開式の一般項は

3!/L1!L2!L3!L4! (x)^L1 (-x^2)^L2 (2/x)^L3 1^L4

となります。
(-x^2)^L2のカッコ内のマイナスが気持ち悪いなら、

(-x^2)^L2
= {(-1)・(x^2)}^L2
= { (-1)^(L2) }{ (x^2)^(L2) }

と分離して、

3!/L1!L2!L3!L4! (x)^L1 (-x^2)^L2 (2/x)^L3 1^L4
= { (-1)^(L2) }・{ 3!/L1!L2!L3!L4! (x)^L1 (x^2)^L2 (2/x)^L3 1^L4 }

とすればよいと思います。

> (x)^L1 (x^2)^L2 (2/x)^L3　を、(1)のように　(x)^L1-L2のような形で纏められないでしょうか？

以下の指数法則を使ってまとめられます。

(x^a)(x^b) = x^(a + b)
(x^a)^b = x^(ab)

たとえば(x^2)^n = x^(2n)です。
この法則が成り立つ理由は、図を描けばすぐわかると思います。

なおx^1 = x、x^0 = 1, 1/x = x^(-1)という扱いになります。
同様に1/x^2 = x^(-2), 1/x^3 = x^(-3)という風になります。

補足

(2/x) ^ L3　も、　2^L3と(x)^-L3　という感じで分けて　2^L3　を前に出せばキレイな一般項になりそうですね！

回答ありがとうございました！

回答No.2

info22

>この問題がわかりません。

べき数が３、４と少ないですから2項係数を使って求めるより
定数項に注目しながら、直接展開した方が早い（簡単）と思います。
なまじっか、2項定理を知っているために、難しく考えすぎているだけでしょう。

分かりません。と言う前に先ず展開してみてください。
方針
公式：(A+B)^4=A^4+4A^3*B+6A^2*B^2+4AB^3+B^4
を使って、定数項だけ引き出し、定数項に関係ない項は「+…」で表すように変形していきます。

>(3x + 1/x + 2)^4
=(3x+1/x)^4+4(3x+1/x)^3*2+6(3x+1/x)^2*2^2+4(3x+1/x)2^3+2^4
=(3x+1/x)^4+24(3x+1/x)^2+16 + …
=6(3x)^2(1/x)+24*2(3x)(1/x)+16 + …
=54+144+16 + …
後は計算して下さい。

後半は公式：(A+B)^3=A^3+3A^2*B+3AB^2+B^3
を使って、定数項だけ引き出し、定数項に関係ない項は「+…」で表すように変形していきます。
>(x - x^2 + 2/x + 1)^3
=(x+2/x-x^2)^3 +1+3(x+2/x-x^2)^2+3(x+2/x-x^2)
=(x+2/x)^3-3(x+2/x)^2*x^2 +1+3(x+2/x)^2 + …
=-3(2/x)^2*x^2 +1 +3*2x(2/x) + …
=-12+1+12 + …
後は計算して下さい。

補足

言い忘れましたが、多項定理を使って解けという問題です。

例えば、
( x + 1/x + 2) ^ 5
の展開式の一般項は、
5!/L1!L2!L3! (x)^L1 (x)^-L2 2^L3 = 5!/L1!L2!L3! (x)^L1-L2 2^L3　…　(1)
です。

そんな感じで、質問した問題の一般項を知りたいです。
(x - x^2 + 2/x + 1) ^ 3
の問題だったら、
3!/L1!L2!L3!L4! (x)^L1 (x^2)^L2 (2/x)^L3 1^L4
となったのですが、
(x)^L1 (x^2)^L2 (2/x)^L3　を、(1)のように　(x)^L1-L2のような形で纏められないでしょうか？
更に、x^2の前のマイナスを一般項のどこに入れたら良いか、わかりません。

回答お願いします。

回答No.1

R_Earl

> xの前に3がついている場合や、-x^2のように係数がマイナスの場合、どうやって一般項にすれば良いのでしょうか？

(a + b + c)^4みたいな形なら解けるのでしょうか？
だとしたら、その形にもっていけば良いんです。

例えば(3x + 1/x + 2)^4であれば、
3x = a, 1/x = b, 2 = cとおけば

(3x + 1/x + 2)^4 = (a + b + c)^4

となりますよね。
あとはa, b, cのどの組み合わせで定数項ができるのかを考えれば良いです。
例えば(a^2)(b^2)で定数項ができますし、
ab(d^2)でも定数項ができます。
他にも定数項ができる組み合わせが存在します。

(x - x^2 + 2/x + 1)^3なら、
x = a, -x^2 = b, 2/x = d, 1 = dと置いて考えてみてください。