多項展開式

質問

この問題の解説の水色の線のところがわかりません。どなたか教えてください。
あと、
この問題の前に(x +1/x)^nの展開式に定数項が含まれる時nは偶数になる という証明の問題がありました。

前の問題に条件が出て来たので、解説のように二項定理のようにやって1とxの含むものに分けて考えるのは分かったのですが、これは多項式のやり方(n！/p！q！r！ ・ a^p・b^q・c^r)でも解けるのでしょうか？

回答No.1

info33 · ベストアンサー

>これは多項式のやり方(n！/p！q！r！ ・ a^p・b^q・c^r)でも解けるのでしょうか？

解けます。
a=1,b=x,c=1/x,
p+q+r=7,
n=7, (p,q,r)=(1,3,3),(3,2,2),(5,1,1),(7,0,0)

7!/(1!3!3!)+7!/(3!2!2!)+7!/(5!1!1!)+7!/(7!0!0!)
=5040(1/36+1/24+1/120+1/5040)
=140+210+42+1
=393

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

kiha181-tubasa

(x+1/x)^k
の展開式の一般項は
kCr*(x^r)*(1/x)^(k-r)
=kCr*x^(r-(k-r))
=kCr*x^(2r-k)
となりますね。
定数項になるのは，2r-k=0のときだから，k=2rつまりkが偶数となります。

表現を変えて説明すると，定数項ができるのは
「xと1/xが同じ個数だけかけ合わせられた時」です。
例えば，x^2*(1/x)^2などのようにです。つまりkが偶数の時だけなのです。
kが奇数の時は，xと1/xが同じ個数だけかけ合わせられることがないのです。例えば，x^2*(1/x)^3=1/xとなり，定数項ができません。

本来の回答に戻ります。
最初の問題の展開式の一般項は
7Ck(x+1/x)^k
でした。この(x+1/x)^kから出てくる定数項達と7Ckとの積の和が求める定数項になります。

それらだけを集めたものが解答の６行目なのです。でもわかりにくいですね。kは偶数である事に注意して
k=0のとき　7Ck(x+1/x)^k=7C0(x+1/x)^0=7C0*1
k=2のとき　7Ck(x+1/x)^k=7C2(x+1/x)^2=7C2(2C0x^0(1/x)^2+2C1x(1/x)+2C2x^2(1/x)^0)=7C2(2C0(1/x)^2+2C1+2C2x^2)
ここでの定数項だけを取り出すと，7C2*2C1となりますね。

以下，同様に確かめてみると十分納得できると思います。

お礼

ありがとうございました！