係数の求めかた

質問

今、個数の処理について勉強しています。
そして、
(x＾2＋x＋(-1/x)＾8を展開したとき、x＾4の係数の求めかたがわかりません。

答えは-462
解き方が乗っていないのでわかりません。
できれば、途中式を載せてもらってもいいですか？
お願いします

回答No.3

-_-y-

x^2の個数をa個、xの個数をb個としたとき、(-1/x)の個数は8-a-b個になります。(8乗だから8個選ばないといけない。)
4乗にならないといけないので、2a+b-(8-a-b)=4にならないといけません。(かけたときのxの個数を考えます。)
これを解くと、3a+2b=12になります。
aについて解くと、a=-2b/3+4となり、a,bは整数なので
(4,0),(2,3),(0,6)となります。
これで、x^2,x,-1/xの個数は(4,0,4),(2,3,3),(0,6,2)
になります。
(4,0,4)のとき
コンビネーションを使って8C4=70
(2,3,3)のとき
8C2*6C3=-560
(0,6,2)のとき
8C6=28

よって70+(-560)+28=-462となりま～す。(^_^)

回答No.2

oshiete_goo

多項定理（知らなければ二項定理を２回使っても出せる）により（同じものを含む順列と見れば係数は一発）

{x^2＋x＋(-1/x)}^8
の展開式の一般項は
{８!／(a!・b!・c!)}(x^2)^a・x^b・(-1/x)^c
＝{８!／(a!・b!・c!)}・(－1)^c・x^(2a＋b－c)
と書ける．
ただし，
a+b+c＝８・・・（１）
a,b,cは０以上の整数・・・（２）
を満たす．

すると，x＾4の項は
2a＋b－c＝４・・（３）
の場合を調べればよい．

これらを満たす整数の組(a,b,c)を場合わけして求めていくと，＃１さんのお話になるはずです．
それぞれの場合の係数は
{８!／(a!・b!・c!)}・(－1)^c
であり，答えはそれらの総和です．

回答No.1

pocariblue

とりあえず、回答例をご紹介します。

何故、このような計算をするのかをご説明差し上げたいのですが、うまく言葉になりません。

更なる解説が必要でしたら、その旨、お申しつけ下さい。

［回答例］

(x^2)を掛ける回数をａ回、(x)を掛ける回数をｂ回、(-1/x)を掛ける回数をｃ回とする。

(x^4)という項が現れる時の、(a,b,c)の組み合わせは次の３通り。
(0,6,2),(2,3,3),(4,0,4)

(a,b,c)＝(0,6,2)という組み合わせで現れる(x^4)の係数は、
8!/(6!*2!)=28

(a,b,c)＝(2,3,3)という組み合わせで現れる(x^4)の係数は、
-{8!/(6!*2!)}*{6!/(3!*3!)}=-540

(a,b,c)＝(4,0,4)という組み合わせで現れる(x^4)の係数は、
8!/(4!*4!)=70

したがって、(x^4)の係数は、
28-540+70=-462