係数を求める問題

質問

(イ)kを実数とする (1+x+kx^2)^6をxについて展開したとき、x^3の係数とx^4の係数を求めよ また、x^4の係数が最小になるときkの値を求めよ
(ロ)(a+b+1/a+1/b)^7を展開したときのab^2の係数を求めよ

(イ)はxが2つでややこしく、(ロ)は逆数でややこしくなっており分かりません 解説お願いします

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(イ）
■x^3の係数
6個の同じ因数の積と考え、x^3ができる全ての組合せの係数の和を求めれば良い。

3個の因数から1を選び、残りの3個の因数からxを選ぶ組合せのx^3の係数＝6C3*3C3＝20

4個個の因数から1を選び、残りの２個の因数からxを選び、残った１個の因数からkx^2を選ぶ組み合わせのx^3の係数＝6C4*2C1*1C1*k＝30k

∴x^3の係数の合計＝20+30k
（実際に展開した式のx^3の係数と一致することを確認済みです。）

■x^4の係数
6個の同じ因数の積と考え、x^4ができる全ての組合せの係数の和を求めれば良い。

2個の因数から1を選び,残り４個の因数からxを選んでできる組合せの
x^4の係数＝6C2*4C4=15

3個の因数から1を選び、残り３個の因数の内２個の因数からxを選び、残り１個の因数からkx^2を選んでできる組合せのx^4の係数＝6C3*3C2*1C1*k＝60k

4個の因数から1を選び、残り２個の因数からkx^2を選んでできる組合せの
x^4の係数＝6C4*2C2*k^2＝15k^2

∴x^4の係数の合計＝15+60k+15k^2＝15(1+4k+k^2)
（実際に展開した式のx^4の係数と一致することを確認済みです。）

x^4の係数＝15(k+2)^2 -45≧-45
k＝-2の時　x^4の係数の最小値＝-45

(ロ)
(a+b+1/a+1/b)の７個の因数からab^2ができる組合せを考える。

aが1個、bが4個、1/aが0個、1/bが2個選ぶ組合せによる係数＝7C1*6C4*2C2＝105
aが2個、bが3個、1/aが1個、1/bが1個選ぶ組合せによる係数＝7C2*5C3*2C1*1C1＝420
aが3個、bが2個、1/aが2個、1/bが0個選ぶ組合せによる係数＝7C3*4C2*2C2＝210

∴ab^2の係数の合計＝105+420+210＝735
（実際に展開した式のab^2の係数と一致することを確認済みです。）

お礼

回答ありがとうございます
ものすごくわかりやすいです
ただ「x^4の係数＝15(k+2)^2 -45≧-45
k＝-2の時　x^4の係数の最小値＝-45」が分かりません どこから-45がでてきたのでしょうか？良ければ回答お願いします

回答No.5

info22_

#1,#3です。

A#3の補足質問の回答

（イ）について
>ただ、No.2さんの回答だと最小値が-2なのですが、答えを持ってないため確認できません
どちらが正しいのでしょうか？

#2さんがA#4で「最小値が-2」は間違いであると認めておられます。そしてA#1で私が回答した
「k=-2の時、最小値が-45」の方が正しいと認めておられます。

＃）A#1で私が実際に多項式展開して正しいと確認ずみだと書いていたはずですが…。

お礼

わざわざ回答していただいたのですがすみません 私の勘違いです
勘違いなんかに付き合っていただきありがとうございます

回答No.4

yyssaa

＃２です。
済みません。（ロ）を間違えました。
（ロ）の答えを無視して下さい。
正解は＃１さんの回答の通りです。

お礼

分かりました
今まで回答ありがとうございました

回答No.3

info22_

#1です。

A#1の補足質問の回答

>ただ「x^4の係数＝15(k+2)^2 -45≧-45
k＝-2の時　x^4の係数の最小値＝-45」が分かりません どこから-45がでてきたのでしょうか？良ければ回答お願いします

>∴x^4の係数の合計＝15+60k+15k^2＝15(1+4k+k^2)
の式で平方完成しただけです。平方完成は教科書にも載ってるし、授業でも必ずやるはずです。２次曲線（放物線）の頂点を求める時に平方完成をやりませんでしたか？

15(1+4k+k^2)=15(k^2+4k+1)=15{(k+2)^2-4+1}=15(k+2)^2 -15*3=15(k+2)^2 -45
と「-45」が出てくると思います。

お礼

なるほど 分かりました 回答ありがとうございます
ただ、No.2さんの回答だと最小値が-2なのですが、答えを持ってないため確認できません
どちらが正しいのでしょうか？

回答No.2

yyssaa

（イ）
x^3の係数：6C1*5C1*K+6C3=30k+20・・・答え
x^4の係数：6C2*k^2+6C1*5C2*k+6C4=15k^2+60k+15・・・答え
f(k)=15k^2+60k+15とおくと、f'(k)=30k+60
f'(k)=0でf(k)は極小(最小)となるので、k=-2・・・答え
（ロ）
ab^2の係数：7C1*6C2*(4C2+4C2+4C1*3C1)=2520・・・答え

お礼

回答ありがとうございます
よく分かりました