ローラン展開ができません。

質問

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{ e^(x/2) -e^(-x/2) }^2

を x = 0　のまわりでローラン展開するのですが、解答は判っているのですが、
途中がまったくわかりません。
定義通りに、力ずくでやろうと試みましたが、係数計算が複雑すぎてうまくいきません。
何か、うまい方法があるのでしょうか？

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

f(x)=1/(exp(x/2)-exp(-x/2))^2
=1/(exp(x)+exp(-x)-2)
exp(x)=1+x+x^2/2+x^3/3!+x^4/4!+...
exp(-x)=1-x+x^2/2-x^3/3!+x^4/4!-...
exp(x)+exp(-x)-2=x^2+2x^4/4!+2x^6/6!+...
f(x)はx=0に２位の極を持つ。
x^2*f(x)=x^2/(exp(x)+exp(-x)-2)
=1/(1+2x^2/4!+2x^4/6!+...
=g(t) (t=x^2)とおく。

g(t)=1/(1+2t/4!+2t^2/6!+... )

g(t)をマクローリン展開すると
g(t)=1-t/12+t^2/240-t^3/6048+...

f(x)のローラン展開は
ｆ（ｘ）=g(x^2)/x^2=1/x^2-1/12+x^2/240-x^4/6048+... 　…(答)

お礼

回答ありがとうございます。
よくわかりました。そのようにやり方が見つけられればいいのですが、
今のところ、私には無理みたいです。