この問題の解き方を教えてください

質問

1.
f(x)=x^4/4-x^3/3-x^2+1
xの動く範囲を[0,2]に制限すると、関数y=f(x)は逆関数x=f^-1(y)を持つ。
f(1)=-1/12のとき、この逆関数のy=-1/12での微分係数を求めなさい。

2.
f(x)=2^x+x
xの動く範囲を全実数として、関数y=f(x)は逆関数x=f^-1(y)を持つ。
f(0)=1のとき、この逆関数のy=1での微分係数を求めなさい。

回答No.5

alice_44

A No.3 で正解。
同じ解法で同じ答えに至る回答を
A No.4 のように言い直す意味はない。

回答No.4

info22_

1.
>f(x)=x^4/4-x^3/3-x^2+1
>xの動く範囲を[0,2]に制限すると、関数y=f(x)は逆関数x=f^-1(y)を持つ。
>f(1)=-1/12のとき、この逆関数のy=-1/12での微分係数を求めなさい。

「関数y=f(x)は逆関数x=f^-1(y)を持つ。」これは
y=f(x)をxについて解いただけの式に過ぎません。
x=f^-1(y)は逆関数ではありません。f^-1()はf()の逆関数を表す表現ですが、かと言ってx=f^-1(y)はy=f(x)の逆関数ではありません。
yとxを入れ替えた「y=f^-1(x)」が逆関数になります。
関数、逆関数のグラフを描けば理解しやすいかと思います。

>f(1)=-1/12のとき、この逆関数のy=-1/12での微分係数を求めなさい。

なので「逆関数のy=-1/12での微分係数を求めなさい。」は
「逆関数のx=-1/12での微分係数を求めなさい。」が正しい表現です。

以上のように問題文を訂正したとして解答すると
y=f(x)=x^4/4-x^3/3-x^2+1
y'=f'(x)=x^3-x^2-2x
x=1のとき、f(1)=-1/12、y'(1)=f'(1)=-2
逆関数y=f^-1(x)では
1=f^-1(-1/12),
微分係数は f^-1'(-1/12)=1/f'(1)より
∴y'(-1/12)=1/f'(1)=-1/2　←（答え）

2.
問題文が1と同様正しくないので
>xの動く範囲を全実数として、関数y=f(x)は逆関数x=f^-1(y)を持つ。
>f(0)=1のとき、この逆関数のy=1での微分係数を求めなさい。

を次のように訂正した上で回答します。
「xの動く範囲を全実数として、関数y=f(x)は逆関数y=f^-1(x)を持つ。
f(0)=1のとき、この逆関数のx=1での微分係数を求めなさい。 」
関数、逆関数のグラフを描いてみれば理解しやすいかと思います。

y=f(x)=2^x+x=e^(xlog(2)) +x
y'=f'(x)=log(2)e^(xlog(2)) +1=log(2)*2^x +1
x=0のとき f(0)=1,y'(0)=f'(0)=1+log(2)
逆関数y=f^-1(x)では
x=1のとき
f(0)=1より　f^-1(1)=0
微分係数は f^-1'(1)=1/f'(0)より
∴y'(1)=f^-1'(1)=1/f'(0)=1/(1+log(2)) ←（答え）

回答No.3

yyssaa

済みません。No.2さんの回答の通りであり、前回回答の1.を
以下の通り訂正します。
1.
＞dy/dx=x^3-x^2-2x
x=g(y)とすると
g'(y)=dx/dy=1/(dy/dx)=1/(x^3-x^2-2x)
g(-1/12)=1だから
g'(-1/12)=1/{(1)^3-(1)^2-2*(1)}=-1/2
よって、この逆関数のy=-1/12での微分係数は-1/2・・・答

回答No.2

alice_44

1.
y = -1/12 のとき、x = 1 なんだから、
1/(dy/dx) の式の x には、-1/12 ではなく、
1 を代入する。

2. も同様。

回答No.1

yyssaa

1.
＞dy/dx=x^3-x^2-2x
x=g(y)とすると
g'(y)=dx/dy=1/(dy/dx)=1/(x^3-x^2-2x)
g(-1/12)=1だから
g'(-1/12)=1/{(-1/12)^3-(-1/12)^2-2*(-1/12)}=1728/275
よって、この逆関数のy=-1/12での微分係数は1728/275・・・答
2.
＞logを自然対数としてd(2^x)/dx=(log2)2^xだから
dy/dx=(log2)2^x+1
x=g(y)とすると
g'(y)=dx/dy=1/(dy/dx)=1/{(log2)2^x+1}
g(1)=0だから
g'(1)=1/{(log2)2^0+1}=1/(1+log2)
よって、この逆関数のy=1での微分係数は1/(1+log2)・・・答