対数を利用した微分法・・

質問

y=f(x)が微分可能な関数ならばf(x)≠0であるxの範囲においてはlog|y|も微分可能であり合成関数の微分法によって（log|y|）'=y'/yとなるとあったのですが、「=f(x)が微分可能な関数ならばf(x)≠0であるxの範囲においてはlog|y|も微分可能であり・・」と何故言えるのでしょうか？教えてください！！

回答No.1

mmky · ベストアンサー

参考程度に

z=log|y|, y=f(x)
z=log|y| の両辺を指数で変換すると、
y=e＾z, y>0
この関数は、z=±∞, y=0,∞ 以外で微分可能ですから
(dy/dz)=e＾z　　--（1）
この関数yをxで微分することを考えます。
そこで、
dy/dx=(dy/dz)(dz/dx)　　--（2）　
と置きますと、
この等式は関数yがxで微分可能でないと成立しませんね。右辺は変形しただけですね。
yがxで微分可能であれば、{dy/dx}が存在して、
等式（2)と式(1)から
z=log|y| がxで微分可能になり、
dz/dx={dy/dx}/(dy/dz)
=(dy/dx)/{e＾z}=(dy/dx)/{e＾log|y|}
=(dy/dx)/y
が成立しますね。
y=0 の時は微分不可なのでy=0, は外すということですね。つまり、関数yがxで微分可能が必要条件ですね。

簡単な説明ですが参考程度に

お礼

大変参考になりました！！ありがとうございました！！

補足

「z=±∞, y=0,∞ 以外で微分可能」のところはわかるのですが、「y=0以外で微分可能」はわかるのですが、「z=±∞,y=∞ 以外で微分可能」というところがどうしてそうなるのかわかりません・・(TOT)

回答No.2

noname#24477

２つの関数が微分可能ならばその合成関数も微分可能

ところでlog|y|　はすべての区間で微分可能でしょうか？
y=0では微分可能どころか定義さえされていない。
特別な値を決めても連続にすることさえ出来ない。

お礼

ありがとうございました！大変参考になりました！！

補足

微分はするものが0だとできないのですか？？