偏微分係数の連続性の証明

質問

関数　　f(x,y)= { 　0 if（x,y）=(0,0)

　　　　　　 xy/√(x^2+y^2 ) otherwise }

ｆの偏微分係数の連続性について確認してください。また、ｆは点（0,0）において微分可能でないことも示す。

回答No.1

info222_

（x,y）≠(0,0)のとき
f(x,y)=xy/√(x^2+y^2 )

(原点(0,0)におけるx軸方向の微分係数)
f_x(x,y)=y^3/(y^2+x^2)^(3/2)
lim[x→0) f_x(x,0)=lim[x→0) 0=0 …(※1)

(原点(0,0)におけるy=x軸方向の微分係数)
f(t,t)=t^2/((√2)|t|)=g(t)とおくと
t>0のときg'(t)={t/√2}'=1/√2
lim[t→+0] f(t,t)=1/√2 …(※2)
t<0のときg'(t)={-t/√2}'=-1/√2
lim[t→+0] f(t,t)=-1/√2 …(※3)

原点における微分係数が、方向によって、(※1), (※2), (※3)と異なる値をとるから
微分可能ではない。

偏導関数を求めると
f_x(x,y)=y^3/(x^2+y^2)^(3/2)
f_y(x,y)=x^3/(x^2+y^2)^(3/2)
x=rcosθ, y=rsinθ (r≧0, 0≦θ＜2π)とおくと
f_x(x,y)=(sinθ)^3
lim[x=0,y→+0] f_x(x,y)=lim[θ→π/2] (sinθ)^3=1
lim[x=0,y→-0] f_x(x,y)=lim[θ→3π/2] (sinθ)^3=-1
したがって f_ｘ(0,0)をどのように定義したとしても、f_x(x,y)は、(x,y)=(0,0)では連続ではない。(x,y)≠(0.0)では連続。

f_y(x,y)=(cosθ)^3
lim[x=0,y→+0] f_x(x,y)=lim[θ→π/2] (sinθ)^3=1
lim[x=0,y→-0] f_x(x,y)=lim[θ→3π/2] (sinθ)^3=-1
したがって f_y(0,0)をどのように定義したとしても、f_y(x,y)は、(x,y)=(0,0)では連続ではない。(x,y)≠(0.0)では連続。

お礼

ご丁寧な解釈、ありがとうございました。
大変助かりました。