この微分の問題を教えてください。

質問

この微分の問題を教えてください。
問題は
４次関数Ｆ(x)＝ｘ^４－６ｘ^２＋４aｘが極大値を持つような実数aの範囲を求めよ。
です。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんにちは！

まず、一次関数　ｙ＝ｘ　のグラフを思い出しましょう。
はるか左下から上って来て、どこで曲がることも無く、はるか右上へ上り去っていきます。

次に、二次関数　ｙ＝ｘ^2　のグラフを思い出しましょう。
はるか左上から下って来て、極小値で方向転換をし、その後、はるか右上へ上り去って行きます。

次に３次関数です。
ｙ＝ｘ^3　は、はるか左下から上って来て、ｘ＝０　で極小値と極大値が同時に来るので、つまり、極小値も極大値もありません。その後、はるか右上へ去って行きます。
ｙ＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ－１）　の場合は、はるか左下からやってきて、極大値で右下に方向転換し、次に極小値で右上に方向転換し、あとははるか右上に上り去っていきます。
つまり、極大値と極小値を持つためには、２回の方向転換、つまり「２回曲がる」ということが必要になります。

そして、本題の四次関数ですが、ｘ^4 の前にマイナスの数がかかっていないので、
はるか左上から下ってきて、その次に「何か」が起こり、最終的にはるか右上へ去っていきます。
つまり、四次関数が極大値を持つためには、「何か」という部分が「３回曲がる」つまり、極小値その１、極大値、極小値その２という３つの極値がなければいけません。

極値を取るときは、微分したものがゼロになります。
つまり、
Ｆ’（ｘ）　＝　４ｘ^3　－　１２ｘ　＋　４ａ
　＝　４（ｘ^3　－　３ｘ　＋　ａ）
がゼロのとき極値を取ります。

ですから、
ｘ^3　－　３ｘ　＋　ａ　＝　０
という三次方程式に３つの異なる解があればよい、ということになります。

お礼

ありがとうございました。とても参考になりました。

回答No.1

noname#113983

F'(x)=4x^3-12x＋4a これでF'(x)のグラフ書けばなんとなくy=x^3のグラフの形しているんだなと分かる。そして今度はF'(x)の極大と極小の積が負になればF(x)は極大をもつことになるんで
F''(x)=12x^2-12
F'(x)の極大はx=-1で8＋4a 極小はx=1で4a-8
したがって(8＋4a)(4a-8)<0ならF(x)は極大をもつので答えは-2<a<2