微分の問題について教えてください

質問

微分の問題について教えてください

aを正の定数とし関数f(x)を
f(x)=x^3-3a^3x+2a とする
方程式f(x)=0が実数解をただ１つだけもつようなaの値の範囲を求めよ

できれば解法と手順をお願いします

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

f(x) の三次の係数が正であることから、
どちらの極値が極大か極小かは直ぐ判る。
それを使って、A No.2 の条件式は
もっと単純にできる。

回答No.2

private3int

3次関数と方程式の問題ですね。

3次方程式の実数解が一つということは、x軸とグラフが1点で交わるということなのです。

まず、3次関数の極値を求めるためにf(x)をxで微分します。

極値をとるxは、x=±a√aですよね。

これは、極値が2つ存在することを意味しています。また、f(x)の最高次が正であることを考慮してグラフを書いてみてください。
すると、あることに気づくはずです。

実数解が1つになる条件は、極値の符号が同じになる時
[f(-a√a) > 0 ∧ f(a√a) > 0] ∨ [f(-a√a) < 0 ∧ f(a√a) < 0]
になります。∧は「かつ」、∨は「または」と読み替えてください。

あとは、この条件をみたす正の数aを求めればOKです。ここまでできれば、あとは楽勝です。自力でやってみてください。

豆知識として、f(x)が極値をとらない場合、aの値は複素数になります。

回答No.1

misumiss

(1) f(x) を微分して, 導関数を求める
(2) 増減表をかく
(3) 増減表をもとに, y = f(x) のグラフをかく（この際, y-軸のみかき, x-軸はかかない）
(4) (3) でかいたグラフにおいて, x-軸がどのような位置（高さ）にあれば, 方程式 f(x) = 0 の実数解の個数が 1 になるかを考える
(5) (4) で求めた可能性のうち, 非現実的なものは捨てる
(6) 最後に, 不等式を解いて答えを求める