積分の計算

質問

∫1/(t√(1-t^2))dt の計算を教えてください。

回答No.2

info22_

被積分関数が定義される範囲は
-1<t<0または0<t<1
この範囲のtに対して
積分すると
∫1/(t√(1-t^2))dt=log[{1-√(1-t^2)}/|t|}+C (Cは積分定数)....(※)
となります。

A#1の積分結果は0<t<1の範囲に対しては正しいです。、
積分のやり方はA#1の方法でも良いです。
∫1/(t√(1-t^2))dt=log[{1-√(1-t^2)}/t}+C (Cは積分定数)....(★)
(0<t<1の場合)

しかし、
-1<t<0の範囲の場合にはlog内<0となって未定義になるので
この範囲のtについては
積分=log[{1-√(1-t^2)}/(-t)}+C (Cは積分定数)　....(☆)
(-1<t<0の場合)
となります。

t>0の,t<0の範囲の積分結果(★)と(☆)をまとめると(※)のような積分結果になります。

回答No.1

yyssaa

＞t=sinθとおくと√(1-t^2)=cosθ、dt=cosθdθだから
∫1/(t√(1-t^2))dt=∫{1/(sinθ*cosθ)}cosθdθ
=∫1/(sinθ)dθ=∫sinθ/sin^2θdθ=∫sinθ/(1-cos^2θ)dθ
ここでcosθ=xとおくと、-sinθdθ=dxだから
∫sinθ/(1-cos^2θ)dθ=-∫1/(1-x^2)dx=-∫1/{(1-x)(1+x)}dx
-1/2∫{1/(1-x)+1/(1+x)}dx=-1/2{-log|1-x|+log|1+x|}+C
=1/2log|(1-x)/(1+x)|+C=1/2log{(1-cosθ)/(1+cosθ)}+C
√(1-t^2)=cosθだから
∫1/(t√(1-t^2))dt=1/2log[{1-√(1-t^2)}/{1+√(1-t^2)}]+C
=1/2log[{1-√(1-t^2)}^2/t^2]+C
=log[{1-√(1-t^2)}/t]+C(積分定数)・・・答