積分の計算

質問

∫((t+1)/√(4-t^2) dt=-√(4-t^2) +sin^-1(t/2)+Cになるのはなぜでしょうか?
∫(1/√(4-t^2) dt=sin^-1(t/2)+Cとなるのは分かるのですが...

回答宜しくお願いします。

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

∫((t+1)/√(4-t^2) dt=∫t/√(4-t^2) dt+∫1/√(4-t^2) dt=I+J

Jはあなたの解るように

J=sin^-1(t/2)+C

I=∫t/√(4-t^2) dt

を計算するには

√(4-t^2)=u

という置換を行います。

4-t^2=u^2

両辺を微分して

-2tdt=2udu ⇒ tdt=-udu

I=∫t/√(4-t^2) dt=∫-udu/u=-∫du=-u=-√(4-t^2)

となり、証明できました。

お礼

回答ありがとうございます。納得しました。
これからもよろしくお願いします。

回答No.2

f272

それは
∫(t/√(4-t^2)) dt=-√(4-t^2) +C
となるからです。
(d/dt)(-√(4-t^2))=t/√(4-t^2)
だから納得できるでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。納得しました。
これからもよろしくお願いします。