積分の計算

質問

積分について質問です。高橋陽一郎先生の「微分方程式入門」より、積分の計算が一部わからないところがあったので質問させていただきます。
非常に見にくいので、画像を添付しておきますのでそちらを見ていただいたほうが良いと思います。
まず Φ_m(t,s)=∫[s,t]dt_1 ∫[s,t_1]dt_2∫[s,t_2]dt_3…∫[s,t_m-1] A(t_1)A(t_2)…A(tm)dtm
と置きます。A(t）はn次正方行列値関数です。
次の文が分かりません。
「こうおくと、Φ_m(t,s)は、

φ= (∫[t,s]A(r)dr)^m = ∫[t,s]dt_1∫[t,s]dt_2…∫[s,t]dt_m A(t_1)A(t_2)…A(t_m)

これの右辺において、t_1,....,t_m を大きい順に並べ替えた後に積分したものの1/m! 倍だとo考えることができる」
とありますが、どうやってm!がでてくるのか分かりません。
具体的な計算方法を示してもらえば幸いです。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

へ? 「計算で示す」ようなものじゃないと思うんだけどなぁ. 積分領域を考えれば
φ = m! Φ_m(t, s) + (測度 0 なので O になる部分)
と分解できることはほぼ明らか. m=2 のときに積分領域を描いてどうなるかを考えれば難しくないと思います.

とはいえ, 見た感じだけで「A(t_1), ..., A(t_m) が可換」という条件が必要なのかどうかが判断できないので, あんまり大きなことも言えないんだけどね (苦笑).

回答No.1

Tacosan

m個のものの順列.

お礼

素早いご回答ありがとうございます。m個の順列になることを計算で示したいのですが、どうもうまくいきません。