ある積分の計算。∫0~π/2 sin^4t dt

質問

微積の勉強をしているのですが、下記のような式
∫0~π/2 sin^4t dt
がありまして、解答をみると
=3/4・1/2・π/2
と直接なっているのですが、これはどういう計算をしているのでしょうか？
私の知識だと、まずsinをcosに直してcos^2tをcos2tに直して…という過程を通らないと、計算できず、かなり面倒な計算になってしまうのですが…。

よろしくお願いします。

回答No.2

nettiw · ベストアンサー

漸化式を利用しているのだと思います。

　工(0)=∫[0,π/2](sinT)^0]dt=(π/2)
　工(1)=・・・今は不要。
n≧2
　工(n)=∫[0,π/2](sinT)^n]dt
　　　　=[(-cosT)・(sinT)^(n-1)][0,π/2]
　　　　　+(n-1)∫[0,π/2][(cosT)^2・(sinT)^(n-2)]dt
　　　　=(n-1)∫[0,π/2][1-(sinT)^2][(sinT)^(n-2)]dt
　　　　=(n-1)工(n-2)-(n-1)工(n)
------
　　　　n工(n)=(n-1)工(n-2)
　　　　　工(n)=[(n-1)/n]工(n-2)
------
　　工(2)=(1/2)工(0)=(1/2)(π/2)
　　工(4)=(3/4)(1/2)(π/2)
　　工(6)=(5/6)(3/4)(1/2)(π/2)
　　工(8)=・・・
となります。
-----

お礼

とても丁寧な回答ありがとうございます。
おかげさまで解決しました。

回答No.3

Tacosan

や, 地道に計算すればいいんですよ.
sin を cos に直す意味はわからんけど.

回答No.1

proto

公式ですね。
nが偶数のとき
　∫[0～π/2]{(sin(x))^n}dx = (n-1)/n * (n-3)/(n-2) * … * 1/2 * π/2
nが奇数のとき
　∫[0～π/2]{(sin(x))^n}dx = (n-1)/n * (n-3)/(n-2) * … * 2/3
となります。
質問ではn=4のときですから、
　(与式) = (4-1)/4 * (4-3)/(4-2) * π/2 = 3/4 * 1/2 * π/2
です。

導出は以下の通り
　I{n} = ∫{(sin(x))^n}dx
とおく(I{n}は関数列でn番目の項ってことです)
　I{n} = ∫{sin(x)*(sin(x))^(n-1)}dx
右辺に部分積分を用いて
　I{n} = -cos(x)*(sin(x))^(n-1) +(n-1)∫{sin(x)^(n-2)}dx -(n-1)∫{(sin(x))^n}dx
　I{n} = -cos(x)*(sin(x))^(n-1) +(n-1)*I{n-2} -(n-1)*I{n}
右辺第3項を左辺へ移項して
　n*I{n} = -cos(x)*(sin(x))^(n-1) +(n-1)*I{n-2}
　I{n} = {-cos(x)*(sin(x))^(n-1) +(n-1)*I{n-2}}/n
というわけで、ここにI{n}とI{n-2}についての2項間漸化式が出来上がりました。
I{n}を[0,π/2]の区間での定積分とすると、右辺第1項は消えて
　[I{n}](0～π/2) = (n-1)/n*[I{n-2}](0～π/2)
これをI{1}かI{0}になるまで繰り返し、
　[I{1}](0～π/2) = ∫[0～π/2]{sin(x)}dx = 1
　[I{0}](0～π/2) = ∫[0～π/2]dx = π/2
を適用すれば題意の公式が得られます。

ちなみに∫[0～π/2]{cos(x)}dxでも同様の公式が得られるので、勉強のつもりで導出してみてはいかがでしょうか。

お礼

とても丁寧な回答ありがとうございます。
おかげさまで解決しました。