積分

質問

x>0とし
f(x)=∫{1~x}logt/(1+t) dt
としたときの
f(x)+f(1/x)を求めよという問題なのですが、
f(1/x)
=∫{1~1/x}logt/(1+t) dt
=∫{1~x}log(1/t)/(1+1/t) dt
=-∫{1~x}tlogt/(1+t) dt
=-∫{1~x}{logt-(logt)/(1+t)}dt
=-∫{1~x}logt dt +∫{1~x}(logt)/(1+t)dt
=-xlogx +x +1+f(x)
よってf(x)+f(1/x)=2f(x)-xlogx +x +1
というところまで一応出たのですが、
１）ここまであってるでしょうか？
２）これはどこまで計算すればいいのでしょうか？
回答お願いします。

回答No.3

ferien · ベストアンサー

やってみました。
答えは、f(x)＋f(1/x)＝(1/2)（logｘ）^2になりました。

ｆ'（ｘ）＝logｘ／（ｘ＋１）
ｆ'（1/x）＝［log(1/x)／｛(1/x)＋１｝」×（－１／ｘ^2）
　　　　　＝［（log１－logｘ）／｛（１＋ｘ）／ｘ｝］×（－１／ｘ^2）
　　　　　＝logｘ／ｘ（ｘ＋１）
ｆ'（ｘ）＋ｆ'（1/x）
＝｛logｘ／（ｘ＋１）｝＋｛logｘ／ｘ（ｘ＋１）｝
＝ｘlogｘ＋logｘ／ｘ（ｘ＋１）
＝（ｘ＋１）logｘ／ｘ（ｘ＋１）
＝logｘ／ｘ

ｆ（ｘ）＋ｆ（1/x）
＝∫ｆ'（ｘ）ｄｘ＋∫ｆ'（1/x）ｄｘ
＝∫｛ｆ'（ｘ）＋ｆ'（1/x）｝ｄｘ
＝∫（logｘ／ｘ）ｄｘ
ｔ＝logｘとおくと、ｄｔ＝(1/x)ｄｘより、
＝∫ｔｄｔ
＝(1/2)ｔ^2＋Ｃ
＝(1/2)（logｘ）^2＋Ｃ
ｆ（１）＝０，ｆ（１／１）＝０より、
(1/2)（log１）^2＋Ｃ＝０だから、Ｃ＝０
よって、f(x)＋f(1/x)＝(1/2)（logｘ）^2　

微分して式変形したら、かなり簡単な式になったので、
積分が楽になりました。

お礼

回答ありがとうございました。　なるほど　そういう方法もあったんですね。

回答No.4

yyssaa

とすると
f(1/x)
=∫{1~1/x}logt/(1+t) dt

t=1/y
dt=-1/y^2 dy

=∫{1~x}(-1/y^2){log(1/y)}/(1+1/y) dy
=∫{1~x}-log(1/y)/{(1+1/y)(y^2)} dy
=∫{1~x}(logy)/(y^2+y) dy
=∫{1~x}(logy)/ydy - ∫{1~x}(logy)/(y+1) dy

f(x)+f(1/x)
=∫{1~x}(logy)/ydy
=(logx)^2 /2

でいいのでしょうか？

＞正解です。
()、{}、[]を使い分けて、範囲を正しく表現しましょう！

お礼

回答ありがとうございました。　今後気をつけます

回答No.2

yyssaa

最初の
f(1/x)
=∫{1~1/x}logt/(1+t) dt
=∫{1~x}log(1/t)/(1+1/t) dt
の
∫{1~1/x}logt/(1+t) dt
=∫{1~x}log(1/t)/(1+1/t) dt
が違います。
1/t=yに変換すれば、
t=1/y
dt=(-1/y^2)dyになります。
従って
∫{1~1/x}logt/(1+t) dt
=-∫{1~x}(1/t^2)log(1/t)/(1+1/t) dt
になります。

お礼

回答ありがとうございます。

とすると
f(1/x)
=∫{1~1/x}logt/(1+t) dt

t=1/y
dt=-1/y^2 dy

=∫{1~x}(-1/y^2)log(1/y)/(1+1/y) dy
=∫{1~x}-log(1/y)/{(1+1/y)(y^2)} dy
=∫{1~x}logy/(y^2+y) dy
=∫{1~x}(logy /y) - ∫{1~x}logy /(y+1) dy

f(x)+f(1/x)
=∫{1~x}(logy /y)
=(logx)^2 /2

でいいのでしょうか？

回答No.1

bluesky1333

f(x)が定積分で、このような形は
f´(x)=log(x/(1+x))
となることを公式から覚えるか理解（微分積分の理解そのもの）してください。
同様に
f´(1/x)=log[(1/x)/{1+(1/x)}]
[f(x)+f(1/x)]´=log(x/(1+x))+log[(1/x)/{1+(1/x)}]=log{x/(1+x)^2}
=logx-2log(1+x)
積分して
f(x)+f(1/x)=x{logx-1}-2(1+x){log(1+x)-1}+定数
変形して
f(x)+f(1/x)=x-logx+(x+1)log{x/(x+1)^2}+C
でもいい。（Cは定数）
ここでf(1)=0から、f(x)+f(1/x)=0
即ち、これから定数を求める。
1-0+2log(1/2^2)+C=0
C=-1+4log2
で、答えは
f(x)+f(1/x)=x-logx+(x+1)log{x/(x+1)^2}-1+4log2
となる。

お礼

回答ありがとうございます
>f(x)が定積分で、このような形は
f´(x)=log(x/(1+x))
問題は
f(x)=∫{1~x}(logt)/(1+t) dt
なんですが、これだと
f(x)=∫{1~x}log{t/(1+t)} dt
じゃないですか？表記わかりにくくてすいません