波動関数の規格化

質問

|x| < a/2 とし、φ(a/2)=φ(-a/2)=0 のもとで
φ(x)=Asin(kx)+Bcos(kx) を規格化したいのですが、思うようにうまくいきません。
どなたか途中の計算方法を教えていただけないでしょうか。

ちなみに答えは
k=nπ/a (n=1,2,3.....)
φn(x)=√(2/a)cos(nπx/a) nが奇数
φn(x)=√(2/a)sin(nπx/a) nが偶数

です。

回答No.2

alchool · ベストアンサー

φ(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)
=√(A^2+B^2)*sin(kx+θ)
（三角関数の合成）

境界条件より
φ(a/2)=√(A^2+B^2)*sin(ka/2+θ)=0
φ(-a/2)=√(A^2+B^2)*sin(-ka/2+θ)=0

波動関数が存在する仮定ならば√(A^2+B^2)=0はあり得ないので
sin(ka/2+θ)=0
sin(-ka/2+θ)=0

よって
ka/2+θ=nπ
-ka/2+θ=mπ

連立して解くと
k=(n-m)π/a
θ=(n+m)π/2

ここで
N=(n-m)
M=(n+m)
と置く

Nが偶数の時、Mも偶数
Nが奇数の時、Mも奇数
上記で求めたkとθをφ(x)に入れてまとめると

φn(x)=C*cos(Nπx/a) nが奇数
φn(x)=C*sin(Nπx/a) nが偶数

ここから先は自分でできるはず。

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ここでnとmを使い分けたことに注意
ka/2+θ=nπ
-ka/2+θ=nπ
とおいてはダメ

同じθという値からka/2をプラスしたものとマイナスしたものなので
同じ値にはなり得ない。（k=0ではない限り）
よってnとmを使い分ける。
n=mで規格化しようとすればA=B=0の解しか出てこない
なぜなら波動関数が一定値になってしまうから。
（k=0と設定したのと同義なので）
おそらくここで躓いてるのでは？

お礼

ありがとうございます。
確かに仰る所で躓いていました。

おかげで解決しました。

回答No.1

noname#176692

境界条件はないの？
境界条件から振幅が出てくると思うんだけど。

補足

上にも書いてありますが
φ(a/2)=φ(-a/2)=0
が境界条件となってます。
これで振幅を出そうとすると、AもBも0になっておかしなことになったので質問しました。