三角関数の公式 n倍角の公式の変形

質問

nを0以上の整数とするとき、

2^n cos^(n+1) θ
= cos (n+1)θ + Σ[k=1,n] 2^(n-k) cos^(n-k) θ cos (k-1)θ

2^n cos^(n) θ sin θ
= sin (n+1)θ + Σ[k=2,n] 2^(n-k) cos^(n-k) θ sin (k-1)θ

が成り立つらしいのですが、どう証明したらよいのでしょうか？

なお、n=1とおくと、
2 cos^(2) θ = cos 2θ +1 ,
2 cos θ sin θ = sin 2θ
となり、２倍角の公式になります。
ただし、Σ[k=2,1](*)=0 です。
n=2とおくと、３倍角の公式になります。

回答No.2

tarame · ベストアンサー

こういう問題は、数学的帰納法を使いましょう。
2^(n+1)cos^(n+2)θ＝2cosθ×2^ncos^(n+1)θ
＝2cosθcos(n+1)θ+Σ[k=1,n]2^(n+1-k)cos^(n+1-k)θcos(k-1)θ＝☆
積⇔和の公式により
2cosθcos(n+1)θ＝cos(n+2)θ＋cos(nθ) であり
cos(nθ)＝2^{n+1-(n+1)}cos^{n+1-(n+1)}θcos{(n+1)-1}θ だから
n+1のときも成り立つことが証明できました。

お礼

まことにありがとうございます。

回答No.1

noname#101087

倍角の公式については、例えば下記ページ(チェビシェフ多項式関連)などが参考になるでしょう。
説明しきれません。まずは、ご一覧ください。

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　http://ufcpp.net/study/digital_filter/chebyshev.html

　http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/inequality/tschebyscheff.htm
からリンクして、
　http://www10.plala.or.jp/rascalhp/math.htm#5

お礼

まことにありがとうございます。