関数

質問

以前も質問をしたのですが、確認のためにもう一度教えてください。
宜しくおねがいします。
【x＾(n＋1)】-1=0の解を1,a(1),a(2)…,a(n)とすると
【1-(a1)】【1-(a2)】…【1-(aｎ)】の値を求める問題で
ただし,n≧1とする問題です。
解くと(X^(n+1))ー１＝(X-1)((X^(n))+(X^(n-1))+・・・+X+1)
(X^(n+1))ー１＝(X-1)【X-(a1)】【X-(a2)】…【X-(aｎ)】
(X-1)【X-(a1)】【X-(a2)】…【X-(aｎ)】＝(X-1)((X^(n))+(X^(n-1))+・・・+X+1)
両辺を(X-1)で割って、
【X-(a1)】【X-(a2)】…【X-(aｎ)】＝((X^(n))+(X^(n-1))+・・・+X+1)
から両辺xにどうして1を代入するのか分からないので教えてください。

それから、この問題とは関係がないのですが、もし教えていただけるのなら教えてください。
１の三乗根、1、 ω、ω＾２
ω　 ＝(cos120度)＋i*(sin120度)
ω^2＝(cos240度)＋i*(sin240度)

１の四乗根　１、i、－１、－i
i　　＝(cos90度)＋i*(sin90度)
－１＝(cos１８０度)＋i*(sin１８０度)
－i ＝(cos２７０度)＋i*(sin２７０度)
は公式と考えていいですか？

(X^4)ー１＝(X-1)((X^3)+(X^2)+X+1)
(X^4)ー１＝(X-1)((X-(i))(X-(-1))(X-(-1))
の((X-(i))という形が分かりません。iは２乗して－1ですが。。

回答No.3

R_Earl

#2ですが、誤字があったので訂正です。
終わりの方の文章ですが

> (X^4)-1
> =(X-1)(X+1)(X-i)(x+i)　（ =(X-1){X-(-1)}(X-i){x-(-i)} ）

というようにxが一部小文字になってます。
正しくは

(X^4)-1
=(X-1)(X+1)(X-i)(X+i)　（ =(X-1){X-(-1)}(X-i){X-(-i)} ）

です。すみませんでした。

回答No.2

R_Earl

> 【X-(a1)】【X-(a2)】…【X-(aｎ)】＝((X^(n))+(X^(n-1))+・・・+X+1)
> から両辺xにどうして1を代入するのか分からないので教えてください。

両辺のxに1を代入すると

【X-(a1)】【X-(a2)】…【X-(aｎ)】＝((X^(n))+(X^(n-1))+・・・+X+1)
↓
【1-(a1)】【1-(a2)】…【1-(aｎ)】＝((1^(n))+(1^(n-1))+・・・+1+1)

となりませんか？
もともと【1-(a1)】【1-(a2)】…【1-(aｎ)】の値を求めたいのですよね？
1を代入すると、求めたかった【1-(a1)】【1-(a2)】…【1-(aｎ)】の式が
左辺に現れるから1を代入するんです。
後は右辺の値を計算して【1-(a1)】【1-(a2)】…【1-(aｎ)】の値を求めます。

> １の三乗根、1、 ω、ω＾２
> ω　 ＝(cos120度)＋i*(sin120度)
> ω^2＝(cos240度)＋i*(sin240度)
>
> １の四乗根　１、i、－１、－i
> i　　＝(cos90度)＋i*(sin90度)
> －１＝(cos１８０度)＋i*(sin１８０度)
> －i ＝(cos２７０度)＋i*(sin２７０度)
> は公式と考えていいですか？

公式と呼べるかどうか分かりません。
一般的に、1のn乗根は次の式で求められます。

cos { k(360°/n) } + isin{ k(360°/n) }
（k = 0,1,2,……,n-1）

1の3乗根も4乗根もこの式から導かれます。
現在高校ではやっていませんが、複素数平面と呼ばれる分野を学んでないと
どうして1のn乗根が上式のようになるのか理解できません。

> (X^4)ー１＝(X-1)((X^3)+(X^2)+X+1)
> (X^4)ー１＝(X-1)((X-(i))(X-(-1))(X-(-1))
> の((X-(i))という形が分かりません。iは２乗して－1ですが。。

(X^4)-1
=(X-1)(X+1)(X-i)(x+i)　（ =(X-1){X-(-1)}(X-i){x-(-i)} ）

になるはずです。
恐らくタイプミスでしょう。

回答No.1

al8cino

一般人です。最初の問題だけ、ですけど
解が与えられてるので、
　x^(n+1)-1=(x-1)(x-a1)(x-a2)...(x-an)=0
です。また、
　x^(n+1)-1=(x-1)(x^n+x^(n-1)+...+x+1)
と書けます。式を比較すれば、(x-1)が何であろうと
　(x-a1)(x-a2)...(x-an)=x^n+x^(n-1)+...+x+1
です。ｘに１を入れてやれば、求める答えです。これではダメ？