三角関数の定積分の問題教えて下さい。

質問

答えがない問題なので教えて下さい。

F（a）=インテグラ［0→π/２］｜sin x - acos x | dx を最小にするaの値を求めよ。

もう10年以上前のことなのでやり方を忘れました。

自分で考えた解き方は絶対値の中を　≧０と　＜０で場合分けして

sin x - acos x ≧0の時
F(a)=インテグラ［０→π/2］（sin x-acos x）dx
=[-cos x - asin x]　0→π/2
　　 = -cos (π/2) - asin (π/2) - (-cos 0 - asin 0 )

こんな感じで解いていけばいいのでしょうか？
わかる方教えて下さい。よろしくお願いします。

なおパソコンでの書き方がよくわからず、すみません。

回答No.1

151A48 · ベストアンサー

a<=0のとき　sinx-acosx　を０からπ/2まで積分して 1-a・・・ここは単調減少
a>0のとき　tanα=aとして
acosx-sinxを０からαまで積分，sinx-acosｘをαからπ/2まで積分して加えると
2asinα＋２cosα-a-1　となります。
この式はa=tanα，1/cosα=√1+(tanα)^2=√1+a^2を使うと
F=2√(1+a^2) -a-1　となるのでaで微分して増減をしらべる。
F'={2a-√(1+a^2)}/√(1+a^2)
F'=0となるのはa=1/√3のときです。
計算は合っていると思いますが，ご自分で確かめて下さい。

お礼

回答ありがとうございます。
0→α、α→π/2。そういえばこういう解き方ありましたね。すっかり忘れてました。助かりました。