三角関数の問題教えてください。難しいです。

質問

１．
　　　sin2X+cosY=1
　　　sinY+cos2X=1 の連立方程式を解け。(０≦Ｘ≦２π、０≦Ｙ≦２π

　２．
　　　nを奇数としf（x）＝｜sin ２π・x/n ｜とする。

　　　(1)集合｛f(k)｜kは整数｝は何個の要素をもつか

　　　(2)ｍをｎと互いに素な整数とすると集合｛f(mk)｜kは0≦k≦(n-1)/2}　はｍによらず一定であることを示せ。

　急いでいます(汗）　よろしくお願いします。

回答No.4

Kules · ベストアンサー

>cosY＋sinY=1　というようになったのですが、ここからどのようにＹを求めたらいいのですか？？
三角関数の合成はご存知でしょうか？
教科書なんかだと
Asinx+Bcosx=√(A^2+B^2)sin(x+α)
みたいな式で書かれているやつです。
こいつで左辺をsinなりcosなりどちらか１つで表してやれば、
そこからは
sinx=1/√3
を満たすxを求める、といった感じの問題とほとんど変わりません。ただし、X,Yそれぞれに範囲がついているのでそこは気をつけてください。

回答No.3

arrysthmia

三角関数は、単位円を描くと見通しが得られることがあります。

１．
二点 P(cos 2X, sin 2X), Q(sin Y, cosY) を考えると、
P, Q が単位円上にあること、PQ の中点が (1/2, 1/2) であること
が判ります。後は、図から解く。
０≦2X≦4π から、円上の一点が二個の X に対応すること、
Q の偏角が右回りであることに気をつけて。

２．
(cos 2πk/n, sin 2πk/n) が、単位円周の n 等分点であること
に注目して、図から解く。

回答No.2

Kules

１番の計算はできましたか？個人的に答えを全部書くのは嫌いです。そもそもこの質問問題丸投げ禁止のルールに抵触してそうな気がしますし。途中までの計算を示してください。与式をsin2X= cos2X=に変形して代入するだけです。
２番はちょっと書き方悪かったですね。n=9として、単位円上に偏角が2π*k/nの点をk=20ぐらいまでプロットしてみてください(このタイプの問題を解いているということは単位円や偏角はご存知ですよね？)
その点たちをｘ軸で上に折り返してやれば、f(k)の要素は最大でも5個にしかならないということになると思います。

わからなければ途中までの式を補足にどうぞ。

補足

投げやりな質問ですみませんでした。

えーっと、代入してといてみたら

cosY＋sinY=1　というようになったのですが、ここからどのようにＹを求めたらいいのですか？？

回答No.1

Kules

１番はそないに難しくないです。
(sin2X)^2+(cos2X)^2=1に与式を変形して代入すればｙが求まると思います。
２番は考えるのめんどくさいですね…n=7とか9とかにして単位円上に
y=sin(2π・k/n) x=cos(2π・k/n)をk=20ぐらいまでプロットしてみてはいかがでしょうか？絶対値を取るということはｘｙ平面でｘ軸を折り目として上に折り返すことなので、その辺りを考えれば(１)は解けそうです。
(２)は(１)から規則性が出てくるのでそれを使えば解けそうですね。

補足

ごめんなさい。

もう少しわかりやすく教えていただけませんか？

本当にごめんなさい・・・