sinθ－cosθをrsin(θ+α)の形にする

質問

sinθ－cosθをrsin（θ+α）の形に変形する仕方について。

ａｓｉｎθ＋ｂｃｏｓθ＝ｒｓｉｎ（θ＋α）
ただし、ｒ＝√（ａ＾２＋ｂ＾２）
ｓｉｎα＝ｂ／ｒ ， ｃｏｓα＝ａ／ｒ

という定義があるのは分かるのですがαの値の正負の判別のしかたがわかりません。
今回、定義に従って計算するとα=π/4となるのですが、答えには√2sin(θ-(π/4))とありました。
αの前にある符号はａｓｉｎθ＋ｂｃｏｓθはaとbの符号の組み合わせで決まるのでしょうか？

計算ミスの可能性もあります...

回答のほうよろしくお願いします。

回答No.5

atkh404185 · ベストアンサー

αの前にある符号はａsinθ＋ｂcosθはaとbの符号の組み合わせで決まるのでしょうか？

　　　↓↓↓

α　の前にある符号は、　a　と　b　の符号の組み合わせで決まります。

点Ｐ(ａ，ｂ)　をとると、
ｒ　は、ｒ＝ＯＰ
であり、
α　は、 ＯＰ　と　ｘ軸の正の部分　のなす角です。

この問題の場合、
ａ＝１、ｂ＝－１
だから、点Ｐは、Ｐ(１，－１)となり、
ｒ＝ＯＰ＝√{1^2+(-1)^2}=√(1+1)＝√2
であり、
α＝－(π/4)
です。

これより、
sinθ－cosθ＝√2sin{θ－(π/4)}
になります。

例えば、
－sinθ＋√3cosθ
であれば、
点Ｐの座標は、Ｐ(－１， √3)　だから、
ｒ＝ＯＰ＝√{(－１)^2＋(√3)^2}＝√(1＋3)＝√4＝2
ＯＰ　と　ｘ軸の正の部分のなす角αは、 α＝(2/3)π
これより、
－sinθ＋√3cosθ＝2sin{θ＋(2/3)π}
になります。

ａsinθ＋ｂcosθ　の変形は、
加法定理の応用です。

お礼

回答ありがとうございます。助かりました。
これからもよろしくお願いします。

回答No.7

bran111

(a/√(a^2+b^2))=cosp
(b/√(a^2+b^2))=sinp
はピタゴラスの定理か何か?ということでしょうか

そうです。底辺=a, 高さ＝bの直角三角形を考えるということです。
斜辺が√(a^2+b^2)なので底角=pとなります。

お礼

回答ありがとうございます。納得できました。
これからもよろしくお願いします。

回答No.6

178-tall

「αの値の正負の判別」に途惑っておられるようですけど、
< No.1 に描いた書いたように、

　　↓

>a=1, b=-1 だから、
>　r = √(1+1) = √2
>　sinα = -1/√2 , cosα = 1/√2
>　　↓
>　α = -π/4

　　↓

…と、αの sin が負、cos が正なので、0 > α > -π/2 とするのがふつう。

お礼

回答ありがとうございます。納得できました。
これからもよろしくお願いします。

回答No.4

bran111

#2です。

＞加法定理の応用ですか...
もしよろしければ、詳しく教えていただけないでしょうか

加法定理は習っていますか。

sin(x±y)=sinxcosy±cosxsiny　　　　(1)

cos(x±y)=cosxcosy∓sinxsiny (2)

sinθ－cosθを(1)または(2)の形にまとめきれたら勝というところです。

ａｓｉｎθ＋ｂｃｏｓθ＝√(a^2+b^2)[(a/√(a^2+b^2))sinθ+(b/√(a^2+b^2))cosθ]
=√(a^2+b^2)[cospsinθ+sinpcosθ]
=√(a^2+b^2)sin(θ+p)
cosp=a/√(a^2+b^2), sinp=b/√(a^2+b^2)
p=arctan(b/a)

質問者はこれを定義ととらえているようですがとんでもない、三角関数の必然的結果です。

お礼

回答ありがとうございます。
ａｓｉｎθ＋ｂｃｏｓθ＝√(a^2+b^2)[(a/√(a^2+b^2))sinθ+(b/√(a^2+b^2))cosθ]
=√(a^2+b^2)[cospsinθ+sinpcosθ]
=√(a^2+b^2)sin(θ+p)

のところですが、下二段は分かったのですが√(a^2+b^2)[(a/√(a^2+b^2))sinθ+(b/√(a^2+b^2))cosθ]から√(a^2+b^2)[cospsinθ+sinpcosθ]になるところがわからないです。

(a/√(a^2+b^2))=cosp
(b/√(a^2+b^2))=sinp
はピタゴラスの定理か何か?ということでしょうか

回答No.3

178-tall

< ANo.1 にて鵜呑みにした「三角関数の合成公式」は、sin の「加法定理」を用いて証明されるのが普通。

　　↓ 参考 URL (三角関数の合成公式の証明と応用)

参考URL：

http://mathtrain.jp/asinbcos

お礼

回答ありがとうございます。参考にさしていただきます。

回答No.2

bran111

sinθ－cosθ＝√2[(1/√2)sinθ-(1/√2)cosθ]=√2[cos(π/4)sinθ-sin(π/4)cosθ]
=√2sin(θ-π/4

要するに単振動の合成は加法定理の応用です。

お礼

回答ありがとうございます。
加法定理の応用ですか...
もしよろしければ、詳しく教えていただけないでしょうか

回答No.1

178-tall

>ａｓｉｎθ＋ｂｃｏｓθ＝ｒｓｉｎ（θ＋α）
>ただし、ｒ＝√（ａ＾２＋ｂ＾２）
>ｓｉｎα＝ｂ／ｒ ， ｃｏｓα＝ａ／ｒ
　　↑
この「三角関数の合成公式」を鵜呑みにして、sinθ－cosθ を勘定すると？
　　↓
a=1, b=-1 だから、
　r = √(1+1) = √2
　sinα = -1/√2 , cosα = 1/√2
　　↓
　α = -π/4
となり、
　sinθ - cosθ = √2 sin {θ- (π/4) }

お礼

回答ありがとうございます。計算ミスをしてますね...申し訳ないです。