数学 合成の公式 問題

質問

次の式をｒｓｉｎ（θ＋ａ）の形に直せ。
（１）√３ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ
合成の公式
ａｓｉｎα＋ｂｃｏｓα＝√（ａ＾２＋ｂ＾２）ｓｉｎ（ａ＋β）
よりａ＝√３、ｂ＝１
√３ｓｉｎα＋１ｃｏｓα＝√（√３＾２＋１＾２）ｓｉｎ(√３＋β）
√３ｓｉｎα＋１ｃｏｓα＝√（３＋１）ｓｉｎ（√３＋β）
√３ｓｉｎα＋１ｃｏｓα＝√４ｓｉｎ（√３＋β）
までは行ったのですが、ここからの計算がよく分からないのですが、教えて頂けないでしょうか？

回答No.2

noname#224896 · ベストアンサー

通常の範囲であれば，
円を用いた証明方法と，
加法定理を用いた証明方法と，
２通りあります．

r=√(a^2+b^2)，
a=rcosα，b=sinαとおくと，

asinθ+bcosθ
=r(cosαsinθ＋sinαcosθ)
=rsin(θ+α)
より，
すなわち，以下の通り，
【三角関数の合成公式】が導き出されました．
asinθ+bcosθ={√(a^2+b^2)}sin(θ＋α)
ただし，αはcosα=a/√(a^2+b^2)
かつ，sinα=b/√(a^2+b^2)を満たすものとする．
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上記の証明方法は，自力で出来る様になりましょう．
そうしないと，単なる暗記では，間違えて暗記してしまったら，努力が水の泡になりますよ．
本来，数学は公式を暗記する科目ではありません．
しかし，試験という制約がある限り，必要最低限の定理や定義だけ暗記して，ひたすら問題を解きまくりましょう．
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上述で導出した公式を踏まえて，公式を利用します．

√３sinθ＋ cosθ
=（√｛（√３）＾2 + 1^2｝）sin(θ＋α)
=2sin(θ＋α)
ただし，cos( α ) = (√３)/2　かつ　sin ( α ) = 1/2
同時に満たすαは１つしか存在せず，a=π/6
つまり，
√３sinα＋ cosα＝2 sin ( α＋π/6 )　．．．．（解答）
となります．
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まず最初に，合成前のsinθの係数aと合成語のsin(θ＋α）がごっちゃになったようですね．
三角関数の関数内部に，√３が入った時点で怪しいと思いましょう．
まぁ，とれない値ではないですが，滅多なことでは出てきません．
以上です．

回答No.1

Rice-Etude

ちょっと公式が違ってますね。

【三角関数の合成公式】
asinθ+bcosθ=√(a^2+b^2)sin(θ+α)
ただし、αはsinの係数aをx成分、cosの係数bをy成分とする点Pと原点Oを結ぶ線分OPとx軸のなす角を一般角で表したもの。

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/henkan.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/gouseikousiki.html

これでもう一度計算してみてください。