行列の問題

質問

行列の問題なのですがどなたか分かる方はいますか？
どなたか知恵を貸してください。見づらいのですがよろしくお願いします。
(x'',y'',z'',1)=(x,y,z,1) ×
1 0 0 0
0 1 0 0 ×
0 0 1 0
a b c 1

cosθ -sinθ 0 0
-sinθ cosθ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

= (x,y,z,1) ×
cosθ sinθ 0 0
-sinθ cosθ 0 0
0 0 1 0
acosθ-bsinθ asinθ+bcosθ c 1

=
xcosθ-ysinθ+acosθ-bsinθ
xsinθ+ycosθ+asinθ+bcosθ
z+c
1

ここで行った操作（平行移動→回転）を逆にしたときの座標を４次元マトリックスを用いて表すにはどうすればいいのですか？
また、両者は一致するのですか？

回答No.1

info22 · ベストアンサー

Y=(x'',y'',z'',1)
X=(x,y,z,1)
A=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
a b c 1
B=
cosθ -sinθ 0 0
-sinθ cosθ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
とおくと

Y=X*A*B=X*X1

> = (x,y,z,1) ×
> cosθ sinθ 0 0
> -sinθ cosθ 0 0
> 0 0 1 0
> acosθ-bsinθ asinθ+bcosθ c 1
この計算は間違っています。
正しくは
X1=
cosθ -sinθ 0 0
-sinθ cosθ 0 0
0 0 1 0
a*cosθ-b*sinθ -a*sinθ+b*cosθ c 1
です。

このためYも間違いになります。
> xcosθ-ysinθ+acosθ-bsinθ
> xsinθ+ycosθ+asinθ+bcosθ
> z+c
> 1

正しいYは
Y=X*X1=
x*cosθ-y*sinθ+a*cosθ-b*sinθ -x*sinθ+y*cosθ-a*sinθ+b*cosθ z+c 1

> 行った操作（平行移動→回転）を逆にしたときの座標を４次元マトリックスを用いて表すにはどうすればいいのですか？
X1=A*Bの逆行列 X2=X1~をYに掛ければ
X=Y*X2
が得られます。

> また、両者は一致するのですか？
勿論一致します。

X2=X1~=[A*B]~=
(2cos^2θ-1+sin^2θ)/{(2cos^2θ-1)*cosθ}　sinθ/(2cos^2θ-1)　0　0
sinθ/(2cos^2θ-1)　cosθ/(2cos^2θ-1)　0　0
0　0　1　0
-a　-b　-c　1
となります。

上記のYにこのY2を掛けて、式を整理してやるとちゃんと
Y*Y2=(x y z 1)=X
と出てきましたよ。

お礼

計算の間違いの指摘までしていただきありがとうございました。
参考になりました。