Σ[n=1..∞]1/n^4=π^4/90を求める際,どの正規直交関数系を使えばいいのかの選択基準は?

質問

こんにちは。

[問]f(x)=x^2(x∈[-π,π])のフーリエ級数を求め,それを使ってΣ[n=1..∞]1/n^4=π^4/90を示せ。
[解]
f(x)(=x^2)π^2/3+4Σ[k=1..∞](-1)^kcos(kx)/k^2=π^2/3-4cosx+cos(2x)-4/9cos(3x)+…
これを正規直交関数{u_k(x)}={1/√2,cosx/√π,sinx/√π,cos(2x)/√π,sin(2x)/√π,…}を使って書き直すと
1/√(2π)・√(2π)・π^2/3+cosx/√π(-4√π)+sinx/√x・0+cos(2x)/√π・1+sin(2x)/√π・0+cos(3x)/√π・(-4√π/9)+… …(1)
従って,a_0=√(2π)/3,a_1=-4√π,a_4=0,a_5=-4√π/9,…
従って(1)は
Σ[k=0..∞]a_k^2=a_0^2+a_1^2+a_3^2+a_5^2+…=2π^5/9+16π+π+16π/81+…=2π^5/9+16Σ[k=1..∞]1/k^4 …(2)
一方,∥f(x)∥^2=∫[π..-π](f(x))^2dx=∫[-π..π]x^4dx=2π^5/5 …(3)
(2)と(3)をParsevalの等式「∥f(x)∥^2=Σ[k=0..∞]a_k^2」に代入して2π^5/5=2π^5/9+16πΣ[k=1..∞]1/k^4
∴Σ[n=1..∞]1/n^4=π^4/90

の問題についてですが正規直交関数は色々あると思いますがこの問題では特に
{u_k(x)}={1/√2,cosx/√π,sinx/√π,cos(2x)/√π,sin(2x)/√π,…}
を使えばいい事とどのようにして知る得るのでしょうか?

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

どうやら、話の筋がこんぐらがってるように思います。

　この[問]全体の構造を見れば、これは「x^2の直交展開からΣ[n=1..∞]1/n^4を計算するにはどんな直交関数系を使えば良いか」という話ではない。「x^2の直交展開から何が言えるか」という話ですらない。そもそも「x^2」なんざ脇役です。

　もし[問]が「Σ[n=1..∞]1/n^4を計算せよ」というのだったら、アプローチはいろいろある。
　公式集で探すとか、とりあえず検索掛けてみるとか、知ってる公式が使えないかとか、部分和を作ってみるとか、項の順序をいじってみるとか、漸化式にならないかとか、余分な項を入れてみるとか、変数変換してみるとか、もっと一般化してみるとか、何か旨い母関数のテイラー展開とか、その微分とか積分とか、何か変な関数の積分に出て来る漸化式の応用、いや案外発散するんじゃないかとか、…
　それじゃ、アプローチの仕方が絞れなくて大変でしょう。どこから手を着ければいいのか分からなくて、多くの人は諦めちゃうだろう。たとえ見込みのあるアプローチを見つけても、その計算に公式集が要るようじゃ何やってんだか分からない。ってんで、「x^2のフーリエ級数を考えてみなさい」というスペシャルヒントが書いてある。そういう問題だと捉えることができます。

　ですが、この[問]は解いて終わりというだけのものじゃない。そのエッセンスはむしろ、こういうことではないでしょうかね：
　「Σ[n=1..∞]1/n^4は幾らか。という話はちょっと置いといてですね、全然関係なさそうな、x^2のフーリエ級数展開をやってごらんなさい。いーからやんなさい。ともかくやるんです。…するとどーです、Σ[n=1..∞]1/n^4の値が旨い具合に現れる。まーちょっと、この結果を味わってみませんか。総和を計算するために一見迂遠なフーリエ級数を使うなんて、面白いでしょ。しかも、πですよ、π。この級数からπが出て来るなんて予想できました？ナント、πの値を計算する公式が得られちゃった訳です。楽しいね」。

　たとえば「じゃあ、もっと他の関数のフーリエ級数展開を使うと、このやり方でどんな無限級数が計算できるかな？」という風にでも、興味が発展すると良いのですけどね。

お礼

詳細なご説明誠に有難うございました。
お陰様で納得できました。

回答No.2

siegmund

siegmund と申します．
大学で物理の研究と教育をやっています．

いやあ，stomachman さんお久しぶりです(^^)．

まず，問題を解く際には「こうすれば間違いなくできる」
というような方法というか筋道というか，
そういうものがいつも用意されているとは限りません．
だから，本当に未解決の問題を解こうとすればさんざん苦労するわけです．
stomachman さんが，「それじゃ、アプローチの仕方が絞れなくて大変でしょう」
と言われるのも全くもっともです．

私は stomachman さんとはちょっと違った視点から答えてみましょう．
もちろん，どちらの答が正しいというような話ではありません．

フーリエ級数を正規直交化したのは Parseval の等式を使える形にするためですから，
質問の本質は「なぜフーリエ級数か？」ということでしょう．
要するに「こうやるとうまくいくから」なのですが，それじゃあんまりですね．

少し考えてみましょう．
1/n^4 の和が欲しくて， Parseval の等式を用いるというなら，
1/n^2 が出てくるようなものを探せばよい．
フーリエ級数なら x^2 cos nx の類の積分を計算するのですから，
具体的形はともかくとして，２度部分積分して 1/n^2 が現れるのはすぐに見えます．

他の正規直交関数ではダメか？
x^2 を使うというのでしたら，ルジャンドル多項式みたいなのは全然ダメです．
こういう多項式シリーズは，x について０次式，１次式，２次式，...，となっていますから
x^2 でしたら最初の３つの多項式で表されてしまうわけで，
無限級数が現れようがありません．
ルジャンドル関数やルジャンドル陪関数だったら無限級数になりますが，
1/n^2 が現れるかどうかはすぐには見えませんね(少なくとも私には)．

x^2 とフーリエ展開でなくて，他の関数と他直交展開でうまくいくかも知れませんが，
それこそ探すのに苦労しそうです．

この種の無限級数(1/n^2，1/n^4，など)の和はオイラーがはじめて求めたものですが，
歴史に名を残す大数学者にして相当の苦労があったのでしょう．
ですから，ちょっと数学ができる程度でこういう話を全く知らなければ，
完全に自力で導くのは非常に難しいと思われます．
それで，x^2，Parseval の等式，フーリエ展開，というスペシャルヒントがあるわけです．
気がついてみれば，あるいは言われてみれば，計算自体は全く容易ですけれどね．

それでは，x^4 のフーリエ展開では 1/n^4 が直接出てきて，
Σ[n=1..∞]1/n^4 が求められるか？
筋はＯＫですが 1/n^2 も出てきますので，Σ[n=1..∞]1/n^2 = π^2/6 と」組み合わせる必要があります．

x^3 のフーリエ展開から Σ[n=1..∞]1/n^3 が求められるか？
残念ながらうまくいきません．お試し下さい．
Σ[n=1..∞]1/n^3 すなわち ζ(3) はζ(2)やζ(4)みたいな形には書けないことが知られています．

完全に自分で見つけるのは無理にしても，話を知っていると応用が利きます．
手前味噌で恐縮ですが
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa1854210.html?ans_count_asc=20
などご覧下さい．

お礼

詳細なご説明誠に有難うございました。
お陰様で納得できました。