「天地明察」より図形問題

質問

冲方丁　作の「天地明察」(映画にもなりましたが）の上巻２４ページから２５ページにかけて載っている図形問題ですが、現代風に書けば次の通りです。

ＡＢ＝１２，ＡＣ＝９の直角三角形(角Ａが直角)があり、二つの円が内部にある。
ＡＢ，ＢＣに接する円とＡＣ，ＢＣに接する円が一点で接し、直径は等しいとき、その直径を求めよ。

図は省略しますが、角Ａを左下、角Ｃを上に持って来ると、左上、右下に円が来ます。

ＢＣ＝１５は簡単ですね。問題は、次の式なんですが、

(２ＡＢ*ＡＣ)/(ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ)　*　ＢＣ/(ＡＢ＋ＡＣ)＝
　　(２*１２*９)/(１２＋９＋１５)　*　１５/(１２＋９)＝30/7

斜辺以外の辺の長さの積を２倍したものを、総辺の和で割り、斜辺の長さをかけて、斜辺以外の長さの和で割る。

何故、総辺の和が出てくるのかが、イマイチわかりません。物語の主人公、春海は、三平方の定理は勿論、相似なども使っていたようですが。

回答No.3

j-mayol · ベストアンサー

△ＡＢＣの内接円の中心をＯ、与問題の２つの円のうち左上の中心をＯ1、右下の中心をＯ2とする。
また内接円の半径をＲ、２つの円の半径をｒとする。
添付図の緑色の台形と青の台形は合同であり面積が等しい。
この面積は（Ｒ＋ｒ）*ｒ*1/2　オレンジの三角形の面積はｒ*（Ｒ＋ｒ）*1/2であるから結局オレンジの三角形と緑の台形の面積は等しい。△ＯＡＯ1の側でも同様に考えると、
△ＡＢＯ2＋△ＡＣＯ1＝△ＢＣＯ　となる

ここで元の式を考えると、(２ＡＢ*ＡＣ)/(ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ)は２（ＡＢ*ＡＣ）/（ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ）は三角形ＡＢＣの面積を３辺の和で割り、２倍したものだから、△ＡＢＣの内接円の直径を求めたことになる。
次に(２ＡＢ*ＡＣ)/(ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ)*ＢＣは△ＢＣＯの面積の４倍を求めたことになる。（高さの２倍を掛けさらに1/2をしていないため）
最後にこれを△ＡＢＯ2と△ＡＣＯ1の底辺（ＡＢ＋ＡＣ）でわったということは△ＢＣＯと面積の等しい△ＡＢＯ2＋△ＡＣＯ1の等しい高さであるｒの２倍を求めたことになる。
・・説明としては非常にへたくそだと思います。

お礼

なるほど！３つの三角形に分けて、それぞれの底辺の和で割ったものは、内接円の半径となる、でしたか。納得しました。
△ＡＢＯ＝△ＡＣＯ＝1/2ＢＣＯは、なんとなく分かっていましたが、台形が思いつかず、このことを考えに入れないで解くのかな、と思っていました。
No.４の回答も含め、ありがとうございました。

回答No.4

j-mayol

後段部分に「２倍」が抜けていました
ここで元の式を考えると、(２ＡＢ*ＡＣ)/(ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ)は２（ＡＢ*ＡＣ）/（ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ）は三角形ＡＢＣの面積の「２倍」を３辺の和で割り、２倍したものだから、△ＡＢＣの内接円の直径を求めたことになる。

回答No.2

j-mayol

円の接する辺を間違えてました。30/7であっていますね。

補足

何故、この式が成り立つのですか？

回答No.1

j-mayol

まず、求める直径は４になりませんか？
それはさておき
(２ＡＢ*ＡＣ)/(ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ)　の式は△ＡＢＣの内接円の直径を求めてますね。
その後やっていることは内心をＯとしたときの△ＢＯＣの面積の４倍を求め、△ＰＡＣ＋△ＰＡＢ＝△ＢＯＣとなるＰからＡＢ、ＡＣにおろした垂線の長さの２倍を求めていると思うのですがいかがでしょう？
これで直径が求まったというのでしたら納得できないですが、続きはないのでしょうか？