図形の問題

質問

問題
△ABCは∠A＝90°の直角三角形で、BC＝2です。
△ABCの内心をI、辺BCの中点をMとして、∠CIM＝90°となるとき、
辺AB、辺ACの長さを求めなさい。

作図をしてみると、△ABCは3辺比3：4：5で、
AB＝8/5、AC＝6/5となることはわかりましたが、
あれこれ補助線をかいても、どう導くのかさっぱりわかりません。
これは中学数学でできますか。
なるべく詳しく教えてください。お願いします。

回答No.3

ferien · ベストアンサー

△ABCは∠A＝90°の直角三角形で、BC＝2です。
△ABCの内心をI、辺BCの中点をMとして、∠CIM＝90°となるとき、
＞辺AB、辺ACの長さを求めなさい。
内心Ｉから、ＡＢ，ＡＣ，ＢＣにおろした垂線の足を、Ｄ，Ｅ，Ｆとする。
内接円の半径をｒとすると、ＡＤ＝ＡＥ＝ｒ，ＤＩ＝ＥＩ＝ＦＩ＝ｒ
内接円の性質から、ＥＣ＝ＦＣ＝ｘ，ＤＢ＝ＦＢ＝２－ｘとおける。
△ＩＣＦと△ＭＣＩとで、
∠ＩＣＦ＝∠ＭＣＩ＝共通の角
∠ＣＦＩ＝∠ＣＩＭ＝９０°　より、
２つの角が等しいから、
△ＩＣＦ相似△ＭＣＩ
よって、ＣＩ：ＣＭ＝ＣＦ：ＣＩ　ＣＭ＝ＢＣ／２＝１より、
ＣＩ：１＝ｘ：ＣＩより、ＣＩ^2＝１×ｘ＝ｘ
△ＩＣＦは直角三角形だから、ＣＩ^2＝ＩＥ^2＋ＥＣ^2＝ｒ^2＋ｘ^2より、
ｒ^2＋ｘ^2＝ｘ　……（１）
△ＡＢＣは直角三角形だから、ＡＢ^2＋ＡＣ^2＝ＢＣ^2より、
ＡＢ＝ＢＤ＋ＤＡ＝（２－ｘ）＋ｒ，ＡＣ＝ＡＥ＋ＥＣ＝ｒ＋ｘ，ＢＣ＝２より、
｛（２－ｘ）＋ｒ｝^2＋（ｒ＋ｘ）^2＝２^2より、
２（ｒ^2＋ｘ^2）＋４ｒ－４ｘ＝０　（１）を代入して、
２ｘ＋４ｒ－４ｘ＝０　より、ｘ＝２ｒ　
（１）へ代入して、
ｒ^2＋（２ｒ）^2＝２ｒより、ｒ（５ｒ－２）＝０
ｒ＝０でないから、ｒ＝2/5　ｘ＝２×(2/5)＝4/5
よって、
ＡＢ＝（２－4/5）＋2/5＝8/5
ＡＣ＝2/5＋4/5＝6/5

になりました。図を描いて考えてみて下さい。

お礼

ありがとうございました。
△ICF∽△MCIはわかっていましたが、そのあとが堂々巡りでした。
式処理の過程を詳しく説明していただいたので、とてもよくわかりました。

回答No.2

hrsmmhr

各頂点から内心との接点までの距離をa,b,cとすれば、三平方の定理より
(a+b)^2+(a+c)^2=(b+c)^2で
2a^2+2(b+c)a=2bc
a^2+2a=2c-c^2
一方⊿CIM∽⊿CDI (Dは辺BCの接点)から
CI^2=1*c
再び三平方の定理から
a^2+c^2=CI^2=c
で2c-2a=cなのでc=2a,a=2/5,c=4/5,b=6/5となります

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

おみみ こみみ（@dreamhope-ok）

問題の表記に間違いはないでしょうか？作図さえもできません。∠CIM=90°?