中一の子供の幾何学の問題（難問！？）

質問

図の△ABCで辺BCの中点をDとする。
また、辺AB、ACをそれぞれ斜辺とする直角二等辺三角形△ABEと△ACFを△ABCの外側に作る。

このとき、ED=DF、かつ、角EDF=直角であることを証明せよ。

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余弦定理とか使って、力技で解くしかないんでしょうか？
いわゆる幾何的な解法がわかりません。。

この方面に詳しいかた、よろしくお願い申し上げます。

回答No.2

hashioogi

No.1様の腕前に感服しました。
でも一部BとＥを混同されていてよくわからないので以下にNo.1様の解答を書き直しました。これで質問者様もわかるかと存じます。

辺BEをE側に延長してBE=EGとなる点Gをとり、
辺CFをF側に延長してCF=FHとなる点Hをとる。
△ABHと△AGCは合同であり、かつこの2つの三角形は点Aを中心に90度回転すれば重なる。
よってBH=CGかつこの2辺は垂直である。
ここで中点連結定理よりBHとDFは平行かつBH=2DF、CGとDEも平行かつCG=2DE。
よってDEとDFは垂直でありかつ長さも等しい。

お礼

＞No.1様の腕前に感服しました。
私も感銘しました！

No2様においては私にもよくわかるように教えていただき、
ありがとうございました。

また、よろしくお願いします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

辺BEをE側に延長してBE=EGとなる点Gをとり、
辺CFをF側に延長してCF=FHとなる点Hをとる。
△AEHと△AGCは合同であり、かつこの2つの三角形は点Aを中心に90度回転すれば重なる。
よってEH=CGかつこの2辺は垂直である。
ここで中点連結定理よりEHとDFは平行かつEH=2DF、CGとDEも平行かつCG=2DE。
よってDEとDFは垂直でありかつ長さも等しい。（証明終わり）

お礼

素晴らしい腕前ですね！

＞辺BEをE側に延長してBE=EGとなる点Gをとり、
といった着想はふと思いつくもんなんでしょうか？

当家の中学生坊主も、（もちろん）私もとても思い至りませんでした。

たくさん解いていく過程でセンスを磨くしかないんでしょうね。。