教えてください!!

質問

AB=5 AC=4　の直角三角形ABCの斜辺BC上に点Pをとり、Pより辺AB,ACに垂線を引き、AB,ACとの交点をそれぞれQ,Rとする。△BPQ,△PCRの面積の和Sが最小となるときの線分PQの長さと、そのときの面積の和Sの最小値を求めなさい。

図を書いてみたりしたのですが、全然分かりませんでした。。
教えてください!!

回答No.4

debut · ベストアンサー

△ＡＢＣ∽△ＱＢＰなので、ＢＡ：ＣＡ＝ＢＱ：ＰＱ
(ＰＱ＝ｘとすると）→５：４＝ＢＱ：ｘとなり
ＢＱ＝(５/４)ｘ　と表せます。
すると、△ＰＣ Ｒでは、ＰＲ＝５－(５/４)ｘ、Ｃ Ｒ＝４－ｘ
と表せます。
あとは、三角形の面積で、ｘの変域０～４に注意しつつ・・

あるいは、長方形ＡＱＰＲの面積の最大値を求めても
いいですね。ＰＱ＝ｘとすれば、ＢＱ＝(５/４)ｘなので、
ＡＱ＝５－(５/４)ｘと表せます。
よって、長方形ＡＱＰＲの面積＝ｘ(５－(５/４)ｘ)

補足

解いてみたら、線分PQの長さは２、面積の和Sの最小値は２０という答えになったのですが、これで良いのでしょうか？！！
教えてください!!

回答No.6

debut

＞途中で４をかけてはダメなのですか・・・？

　方程式じゃないのでかけてはダメです。ただ、最後に
　４で割ることをすればいいんですが、普通はかけません。

Ｓ＝(５/４)ｘ^2－５ｘ＋10
の両辺に４をかけると、
４Ｓ＝５ｘ^2－20ｘ＋40
のように、左辺も４倍されて、求めたいＳは４Ｓに変化して
しまいます。
もしこれが、２次方程式で
(５/４)ｘ^2－５ｘ＋10＝０　ならば、
両辺に４をかけて　
５ｘ^2－20ｘ＋40＝０
とできますが。

お礼

詳しく教えていただき、本当にありがとうございました!!
本当に分かりやすかったです!!
ありがとうございましたｗ

回答No.5

debut

No4です。
ＰＱは２でいいですが、面積は違います。だって、△ＡＢＣ
の面積でも１０にしかならないんですよー。
さっきのｘを使えば、
Ｓ＝(１/２)*(５/４)*ｘ^2＋(１/２)*(５－(５/４)ｘ)(４－ｘ)
　＝(５/４)ｘ^2－５ｘ＋10
　＝(５/４)(ｘ^2－４ｘ)＋10
　＝(５/４)(ｘ－２)^2－５＋10
　＝(５/４)(ｘ－２)^2＋５
とできます。　５ですね。

補足

「S=　(５/４)ｘ^2－５ｘ＋10」
私はこの時に、４を全部にかけて分数じゃなくしてから計算して、最後は答えが20になってしまいました。。
この式では、途中で４をかけてはダメなのですか・・・？
教えてください!!

回答No.3

kussan03

ヒント１
長さAR÷長さAC＝Xとすれば
長さQB÷長さAB＝Xとなります
ヒント２
各三角形の面積をXで表現します
△BPQの面積は、長さQP＝長さARであるから
（４・X）×（５・X）÷２
と表現できます
ヒント３
２つの面積の和をYとしてグラフを書いてみます（放物線になります）
微分して求めてもかまいません。
ヒント４
放物線の頂点のY座標が最小値の和Sですね。
がんばってください

補足

すいません。。ヒント１から分からなくて・・・
長さAR÷長さAC＝Xとすれば
長さQB÷長さAB＝Xとなります
どうしてこうなるのですか・・・？

回答No.2

yhposolihp

>>夏休みの宿題,では無いように思えます。

（解法は、二次関数でも、微分でもＯＫです。）
（解は、自然な感じになります。）

S=△BPQ+△PCR
S=△ABC-□AQPR

点P(x,y)
(x/5)+(y/4)=1・・・切片方程式。

S=10-xy

相加相乗より、
(x/5)+(y/4)≧2√((x/5)(y/4))
1≧√(xy/5)
5≧xy,,,
等号条件は、
(x/5)=(y/4)=1/2,,,x=5/2,,,y=2

xyの最大値5のとき、
S=10-xyは最小値　５となる。(PQ=x=5/2 の時）
,,,,,,,

回答No.1

SRitchie

多分、夏休みの宿題ですね？

ここに質問することはご法度です。