角の二等分線と比の定理の証明問題

質問

数Aの角の二等分線と比の定理2の証明ができなくて困っています。
定理2である、「AB≠ACである△ABCの頂点Aにおける外角の二等分線と辺BCの延長との交点Qは、辺BCをAB:BCに外分する。」をAB＞ACの場合について証明せよ。
という問題です。
△ABCと△BQAで「二つの角がそれぞれ等しい」という相似条件を使って証明すると思うのですが、どうしても等しい角が見つかりません。
補助線なども利用するのでしょうか？
ご教授よろしくお願いします。

回答No.1

Tider124 · ベストアンサー

なにか紙を用意して、そこに図を書き、説明を書き込むと分かりやすいと思います。
ちなみに私の証明方法で、△ABCと△BQAで「二つの角がそれぞれ等しい」は使いません。

まず、点CからAQに平行な直線CEとおきます。
すると平行線の錯角より、∠CAQ＝∠ECA--(1)であることがわかります。
また、ABの延長のさき（どこでもいいです）をMとします。
さらに、平行線の同位角より、∠CEA＝∠QAM--(2)となります。
よって、(1)と(2)より、∠ECA＝∠CEAつまり、三角形AECは二等辺三角形であることがわかりました。
よって、AE＝CE

ここで、CEとQAは平行なので、BA：AE＝BQ：QC
AE＝CEを代入して、BA：CE＝BQ:QC
したがって、証明されたはずです。