中学２年の数学の幾何の問題

質問

よろしくお願いします。
中学２年の数学の幾何の問題です。

学校で渡されているテキストのため、答えのみで、解説がのっていません。

私も考えてみたのですが、答えがあわず。。。

よろしくお願いします。

問題
AB＝１２cm、BC＝１６cm、角ABC＝９０度の直角三角形ABCに、円Pが内接しており、さらに、辺BC上に直径をもつ半円Qが、円Pと辺ACに接している。このとき、
（１）円Pの半径を求めよ。答え４cm
（２）半円Qの半径を求めよ。答え（２７－９√５）/２

（２）について、私は、
PからBCに下ろした垂線の足をRとする。
Pの半径をR、Qの半径をrとして、三角形PQRと三角形ABCが３：４：５の相似として説いたのですが、答えが違いました。
PR＝R、PQ＝R＋ｒより。

どうして間違ってるのかもよくわからないのですが。。。生徒が、どうして相似なのかも示さないといけないと言っていて、かつ私が思うにこれで答えが合わないということは相似ではないのかも。。。と思っています。

よろしくお願いします。

回答No.1

KEIS050162 · ベストアンサー

△PQRとABCが相似であるなら、そもそも　R　=　r　となるので、これはどこかで矛盾を生じるでしょうね。

取りあえず、二次方程式を解く方法で試してみました。（かなり鬱陶しい）
（　１）は簡単なので割愛しますが、１）から、円Ｐの半径は４、三辺の比は　５　：　４　：　３　となることが分かっているものとします。）

円ＰのＢＣの接点をＳ、円ＱのＡＣの接点をＴ、半円Qの半径を　ｘ　とすると、

QC　は、△ＱＴＣと△ABCと相似なので、（三つの角が相当となる）
ＱＣ＝５ｘ／３　となります。

従って、
ＳＱ　＝　１６－４－５ｘ／３　＝　１２　－　５／３ｘ
ＰＳ　＝　４
ＰＱ　＝　４　＋　ｘ　（ＰＱが直線になる、という証明が必要かも知れませんが、これも簡単なので割愛。）

これを三平方の定理で、ｘの二次方程式を組みます。

（１２　－　５／３ｘ）＾２　＋　４＾２　＝　（４　＋　ｘ）＾２

あとはこれを整理して、解の公式を用いて解いて、ｘ＞０　となる解を求めれば、答えが出ます。

因数分解で解が出せず、解の公式を使わなければならない点が、すごく鬱陶しいですが、取りあえずテキストの答えとは一致しました。

ご参考に。

お礼

ありがとうございます。
すばらしいですね。私でも難なく理解できました。
大変参考になりました。ありがとうございます。