図形の計量のいろいろな問題

質問

△ＡＢＣにおいて、３cosA=2sin^2Aが成り立っている。

(1)角Aの大きさを求めよ。

(2)△ABCの外接円の半径が√21/3のとき、辺BCの長さを求めよ。

(3)さらに、△ABCの面積が3√3/4のとき、辺AB,ACの長さを求めよ。ただしAB>ACとする。

わかりません(・_・;)
教えて下さい//

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞△ＡＢＣにおいて、３cosA=2sin^2Aが成り立っている。

＞(1)角Aの大きさを求めよ。
３cosＡ＝２（１－cos^2Ａ）
２cos^2Ａ＋３cosＡ－２＝０
（２cosA－１）（cosＡ＋２）＝０
０＜Ａ＜πより、－１＜cosＡ＜１だから
cosＡ＝1/2より、Ａ＝π／３

＞(2)△ABCの外接円の半径が√21/3のとき、辺BCの長さを求めよ。
正弦定理より、
ＢＣ／sin（π／３）＝２Ｒから、ＢＣ／√３/２＝２×（√21/3）
ＢＣ＝２×（√21/3）×√３/２　よって、ＢＣ＝√７

＞(3)さらに、△ABCの面積が3√3/4のとき、辺AB,ACの長さを求めよ。ただしAB>ACとする。
ＡＢ＝ｘ，ＡＣ＝ｙとおく。ｘ＞ｙ
面積の公式より、(1/2)×ｘ×ｙ×sin（π／３）＝3√3/4
(1/2)×ｘ×ｙ×√３/２＝3√3/4より、ｘｙ＝３　……（１）
余弦定理より、
ＢＣ^2＝ｘ^2＋ｙ^2－２×ｘ×ｙ×cosＡ
（√７）^2＝ｘ^2＋ｙ^2－２×ｘ×ｙ×1/2
７＝ｘ^2＋ｙ^2－ｘｙ　……（２）
（１）より、ｙ＝３／ｘ（２）へ代入して、
７＝ｘ^2＋（３／ｘ）^2－３
ｘ^4－１０ｘ^2＋９＝０
（ｘ^2－１）（ｘ^2－９）＝０
（ｘ＋１）（ｘ－１）（ｘ＋３）（ｘ－３）＝０
ｘ＞０より、ｘ＝１，３
ｘ＝１のとき、ｙ＝３，ｘ＝３のとき、ｙ＝１
ｘ＞ｙだから、ｘ＝３，ｙ＝１
よって、ＡＢ＝３，ＡＣ＝１

でどうでしょうか？