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数I・Αの図形の問題です。
AB=５、BC=８、AC=７の三角形ABCがある。 BCの中点をMとし AMが直径の円と CAとの交点をDとする。 このとき ADの長さを求めよ。 と言う問題です。 直径のAMの長さは √21になり、MCは ４ですよね。 求めたいADをχとおき DCを ７-χとおき 方べきの定理でやってみました。 ４^2 =７(７-χ) で解いたら 答えが 33/７ になりました。 でも 解答例には 27/７となっており 相似を使って解いていました。 方べきの定理では できないのでしょうか？
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直径のAMの長さは √21になりますか？ 回答は27/7となっていましたか？ 円の直径で弦とする円周角は直角になる。 直角三角形ならば、ピタゴラスの定理が使える。 直角三角形で他の一角が等しい三角形は相似なので、対応する辺は、、、
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三平方の定理→（相似の代わりに）方べき が速いんでしょうね。 円とBMとの交点をEとすると、AMが円の直径なのでAEM＝90° BH＝xとして、三平方の定理より 5^2 - x^2 = AE^2 = 7^2 - (8-x)^2 これを解いて x = 5/2 従って、CE＝ 8 - x = 11/2 方べきの定理より、CD・CA＝CM・CE なので、AD＝yとして (7-y) x 7 = 4 x 11/2 これを解いて y = 27/7
お礼
ありがとうございます！ 方べきでも 解けるんですね！ みなさんの意見をみて いろいろな角度からみないといけないことを 教えていただきました！！
- ferien
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AB=５、BC=８、AC=７の三角形ABCがある。 BCの中点をMとし AMが直径の円と CAとの交点をDとする。 このとき ADの長さを求めよ。 と言う問題です。 >でも 解答例には 27/７となっており >相似を使って解いていました。 相似を使って、ＡＤ＝27/7が求められます。 >方べきの定理では できないのでしょうか？ AからＢＣに垂線をおろし交点をＥとする。 方べきの定理に当てはめると、 ＣＡ・ＣＤ＝ＣＥ・ＣＭとなりますが、 ＣＥの長さとＣＤの長さが分からないので、 これから求めることはできません。 垂線ＡＥの長さは、△ＡＢＣの高さなので、△ＡＢＣの面積を出せば求められます。 ３辺が分かっているので、ヘロンの公式より面積＝１０√３ 底辺ＢＣ＝８とすると、 （１／２）×８×ＡＥ＝１０√３ だから、ＡＥ＝５√３／２ ＡＭが直径と言うことから直角三角形がいろいろできますが、その中で、 △ＡＥＣと△ＭＤＣは相似です。 角Ｃ共通で、角ＡＥＣ＝角ＭＤＣ＝９０度だからです。 よって、ＡＣ：ＭＣ＝ＡＥ：ＭＤより、 ７：４＝５√３／２：ＭＤから、ＭＤ＝１０√３／７ △ＭＤＣで三平方の定理より、 ＤＣ^2＝４^2－（１０√３／７）^2 ＝４８４／４９＝（２２／７）^2 より、ＤＣ＝２２／７ ＡＤ＝７－（２２／７）＝２７／７ となりました。 >直径のAMの長さは √21になり、MCは ４ですよね。 AMの長さは √21になります。 △ＡＤＭから三平方の定理より ＡＭ^2＝（２７／７）^2＋（１０√３／７）^2 ＝２１ 計算が少し面倒ですが確かめてみて下さい。
お礼
ありがとうございます！ 面積からも求めることができるんですね！ いろいろな見方をしないといけませんね！
- yyssaa
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AMが直径の円はBCに接していますか？
お礼
接しているとは問題文に書いてません…。 接していると思い込んで 考えていました。 回答 ありがとうございました！
- ukohcamay
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ＣＭが円の接線になっていないので，その方程式からはＡＤは求められないかと思います。
お礼
ありがとうございます！ 思い込みは いけませんね…。 △AMCの三辺を三平方で確認してませんでした…。 ありがとうございました。
お礼
画像つきで とても納得できました！ 直径の√21までは 求められたんですが AMを 縦にまっすくだと思い込んでました…。