数学の問題を教えていただきたいです。

質問

q_n＝q_(n-2)＋a_nq_(n-1)　　p_n＝p_(n-2)＋a_np_(n-1)でαを無理数、式の表す値はすべて定義されているものとして、

1/｛(a_(n+1)＋2）(q_n)＾2｝＜|α-(p_n/q_n)|＜1/(a_(n+1)(q_n)＾2)を証明せよ。

という問題です。分かる方いらっしゃいましたらご教授お願いしたいです。

回答No.3

FT56F001 · ベストアンサー

数列a_nと初期値p1,p2,q1,q2を与えて，漸化式
q_n＝q_(n-2)＋a_n*q_(n-1)　　
p_n＝p_(n-2)＋a_n*p_(n-1)
により数列p_n，q_nを作ると，その比　p_n/q_n　は一定値αに収束する。
その収束の度合いを不等式で評価しよう，という問題でしょうか。

数値実験によると，比p_n/q_nは確かに一定値αに収束するようで，
その極限値αは，初期値p1,p2,q1,q2と初めの10項程度のa_nで決まり，
後の方のa_nの値には無関係なようです。

一方，証明したい不等式の上限1/{a_(n+1)(q_n)^2}と下限1/｛(a_(n+1)＋2）(q_n)＾2｝は，
a_(n+1)の値で変わるので，これをイジワルく設定すれば，
いくらでも不等式の反例ができてしまいそうです。
すなわち収束を証明する不等式の作り方として，不完全ということになります。

お礼

回答してくださった方、丁寧に教えてくれてありがとうございました。まだまだ力不足でした。

回答No.2

FT56F001

> 1/｛(a_(n+1)＋2）(q_n)＾2｝＜|α-(p_n/q_n)|＜1/(a_(n+1)(q_n)＾2)を証明せよ。

a_(n+1)=-1とすると，
左辺=1/｛(a_(n+1)＋2）(q_n)＾2｝=1/{(q_n)^2}>0
右辺=1/(a_(n+1)(q_n)＾2)=-1/((q_n)＾2)<0
ですから，(αが何かは別にしても)，
不等式が成り立たないです。

回答No.1

Tacosan

http://okwave.jp/qa/q7165870.html
でなぜ「証明できない」と言われたのか, 理解できていますか?