命題と論証の証明問題

質問

宿題の証明問題がどうしてもわかりません。
答えとその過程を教えてほしいです。

(1)a,bは有理数でb≠0とする。
√２が無理数であることを用いてa＋b√2が無理数であることを証明せよ。

√6が無理数であることをもちいて、√２＋√３が無理数であることを証明せよ。

(2)命題「ｎは整数とする。ｎ2乗が３の倍数ならばｎは３の倍数である」は真である。
これを利用して√3が無理数であることを証明せよ。

回答No.2

stomachman

(1) の一つ目
　　x = a＋b√2
とおくと、
　　(x -a)/b = √2
　左辺は、もしxが有理数なら、有理数から有理数を引き算して有理数(≠0)で割り算すれば答は必ず有理数。ところが右辺は無理数。

(1)の二つ目
　　y = √２＋√３
とおくと、
　　y^2 = 5+2√6
　左辺は、もしyが有理数ならy^2=y×yは有理数×有理数だからy^2も有理数。一方、右辺は、一つ目と同じやり方で無理数だと分かる。

(2)についてはANo.1と同じことしか言えないなあ。

回答No.1

MagicianKuma

(1)も(2)も背理法を用いれば良いと思います。
(1)-1はa+b√2を有理数と仮定し、a+b√2=c1/c2 とする。ただしc1,c2∈Z,c2≠0
a,bも有理数なので、a=a1/a2 a1,a2∈Z,a2≠0　　　b=b1/b2 b1,b2∈Z,b1≠0(b≠0だから),b2≠0　とおいて、a+b√2=c1/c2 を変形して、√2=整数/整数の形に持って行って、√2が無理数であることと矛盾することを導けば良い。
(1)-2も√2+√3を有理数と仮定し、√2+√3=a/b とする。 ただしa,b∈Z,b≠0
両辺を二乗し変形して、√6=整数/整数の形に持って行って、√6が無理数であることと矛盾することを導けば良い。
(2)も√3を有理数と仮定すると、a,b∈Z,b≠0 でa,bは互いに素なるa,bで√3=a/b と表せる。
ｂ√3=a　を二乗して、3b^2=a^2 から　a^2は3の倍数ゆえにaは3の倍数、さらにb^2は３の倍数ゆえにbも3の倍数を導き、a,bが互いに素であることと矛盾することを導き、最初の仮定が偽を示せば良い。