点の軌跡

質問

({-4p^2+1}/8p,{-16p^4+4p^2-1}/16p^2)という点の軌跡はどのように求めるのでしょうか？なおpは実数全体を動きます

回答No.5

ramayana · ベストアンサー

ANo.4の画像は、Wikipediaの説明と違っていません。

Wikipediaの記号で言えば、第１行目の an が第 n+1 列にある（添え字が0から始まっていることに注意）ので、１つずつずらして m 個並べれば、右端（第 (n+1)-1+m = m+n 列）まで行きます。また、第 m+1 行目の bm が第 m+1 列にあるので、１つずつずらして n 個並べれば、右端（第 (m+1)-1+n = m+n 列）まで行きます。

今回のケースで言えば、n = 2 、 m = 4 です。第１行目の -1 が第 3 列にあるので、１つずつずらして 4 個並べれば、右端（第 3-1+4 = 6 列）まで行きます。また、第 5 行目の 1 が第 5 列にあるので、１つずつずらして 2 個並べれば、右端（第 5-1+2 = 6 列）まで行きます。

お礼

分かりました
ありがとうございました

補足

今更で申し訳ありません
シルベスター行列は作れましたが、これをどうすればよいのでしょうか？
一応、和、差、行列積ぐらいは出来る程度の知識はありますが検討がつきません

回答No.4

ramayana

「8px + 4p^2 - 1 = 0を整理したら4p^2 + 8xp - 1 = 0になりませんか」

失礼しました。その通りです。ご指摘のほかにもいっぱい転記ミスがありました。

ANo.1 の [3], [4], [5] は、

[3]　　256x^4+128x^2y+32x^2+16y^2+8y+1

[4]　　(16x^2 + 4y + 1)^2 = 0

[5]　　16x^2 + 4y + 1 = 0

の間違いです。
ANo.2 の２つの式は、

　　4p^2 + 8xp - 1 = 0
　　16p^4 +(16y - 4)p^2 + 1 = 0

です。また、ANo.2 の添付図は、下のものに修正します。

補足

今回Wikipediaのanに当たるのは-1で、bmに当たるのは1ですよね
-1は4列目にありますから、右端まで行くのに4行費やしますよね
そして5行目、左から16、16y-1、0、1、0、0と並んで、1が4列目にあるから右端に行くのに3行費やしますよね
-1等が右端に行くのに4行、1等が右端に行くのに3行で7行必要なのに、6×6行列のはずだから合いませんし、しかもこの画像ではそうなっていません
何故ですか？

回答No.3

ramayana

「判別式が常に正だとxが任意の実数値を取れるのは何故ですか」

実数を係数とする２次方程式について、「判別式が０以上」というのが、実数根を持つための必要十分条件です。よって、 p に関する２次方程式

[1]　　4p^2 + 8px - 1 = 0

について、どんな実数 x に対しても判別式が正なら、どんな実数 x に対しても、方程式 [1] が実数根を持つということです。これは、言い換えれば、どんな実数 x に対しても、[1]式を満たす実数 p が存在するということです。

お礼

分かりました
ありがとうございました

回答No.2

ramayana

終結式（英語ではresultant 、別名シルベスター行列式）は、２つの多項式から変数を消去するときの常套手段として使われるものです。例えば、次のサイトに説明があります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%AB%E3%83%99%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC%E8%A1%8C%E5%88%97

今回の場合、２つの多項式を p について整理すると、

　　4p^2 - 8xp + 1 = 0
　　16p^4 +(16-y)p^2 + 1 = 0

となるので、終結式は、これらの係数を並べた行列の行列式です（添付図参照）。６次の行列式なので、一見、面倒臭そうですが、0が多いので、案外、簡単に計算できます。

補足

8px + 4p^2 - 1 = 0を整理したら4p^2 + 8xp - 1 = 0になりませんか？

回答No.1

ramayana

グラフを描きたいなら、

　　x = (-4p^2+1)/(8p)
　　y = (-16p^4+4p^2-1)/(16p^2)

のpに小刻みに値を代入して、x と y を求めていけば良いです。

p を消去して x と y の式にしたいなら、次のようになります。
分母を払って整理して、

[1]　　8px + 4p^2 - 1 = 0
[2]　　16p^2y + 16p^4 - 4p^2 + 1 = 0

これらの終結式をとれば p が消去できて、

[3]　　256x^4+128x^2Y+32x^2+16x^2+8x+1 = 0

さらに、左辺が因数分解できて、

[4]　　(16X^2 + 4Y + 1)^2 = 0

すなわち、

[5]　　16X^2 + 4Y + 1 = 0

よって、軌跡は放物線です。ただ、 p が実数なので、x と y の動く範囲に制限があるかもしれません。[1] 式を p の２次方程式とみて判別式をとると、64x^2 + 16 です。これが常に正なので、xは、任意の実数値をとることができます。そのときの x に対応する p を [2] 式に代入すれば、 y も定まります（p が0でないことに注意） 。したがって、 [5]式が、x と y が満たすべき必要十分条件です。

お礼

ありがとうございます
終結式とは何ですか？

補足

あと、[1] 式の判別式が常に正だとxが任意の実数値を取れるのは何故ですか？
判別式は解の個数を求めるものですよね