軌跡の解き方

質問

２直線mx-y＋4m＋21＝0 x＋my＋3m-14＝0 の軌跡を求めろ

という問題でその解答でわからないとこがありました。

解答
点(X,Y)が求める軌跡上の点であるための条件は
　mX-Y＋4m＋21＝0 かつ　 X＋mY＋3m-14＝0
を満たす実数mが存在すること。

とあるんですが上の「実数mが存在する」がよくわかりません。
なぜ虚数ではだめなんでしょうか？

回答No.3

alice_44

No.1 です。少し考え直しました。

質問の問題では、「直線」とか「軌跡」とか
書いてあるだけで、何処にも
実平面の話だとは指定してありません。

これが複素二次元空間上の話で、
「２直線」が複素直線であるとすれば、
m が実数でなければならない理由はありません。

出題者の言葉が足りないか、
解答作成者が空気を読み過ぎているか、
どちらかでしょう。

回答No.2

info22_

問題文がおかしいですね。
2直線の交点の軌跡を求めよ。
ではないですか？

>「実数mが存在する」がよくわかりません。
mに任意の実数の値を与えると2直線が平行でない限り交点が１つ決まりますね。逆に(X,Y)が交点なら2つの直線の式の両方に代入すると共通のm(実数)が１つ決まります。逆に(X,Y)が交点でなければ、共通のm(実数）が存在しません。
つまり2直線の交点(X,Y)が交点であるための条件が共通の実数mが存在することなのです。
軌跡の式は点(X,Y)の座標を2直線に代入して
直線の一方の式からmを求めると
m=(Y-21)/(X+4)…(●)
をもう一方の式に代入してmを消去すれば（X,Y)が共通の交点となり、その交点のX,Yの方程式が得られます。これが交点の軌跡になります。
座標(X,Y)が交点の軌跡の方程式を満たせば交点の座標(X,Y)になります。
その座標(X,Y)は実数の組なので（●）からmも実数になります。
もちろんX=-4の時はmは定義されませんので軌跡から除外する必要があります。もう一方の直線の式からY=-3の時もmが定義できませんので軌跡から除外します。実際にX=-4,Y=-3のケースを調べると
(X,Y)=(-4,-3)ではmが存在しないので軌跡から除外。
(X,Y)=(-4,21)ではm=3/4が存在しますので軌跡に含む。
(X,Y)=(14,-2)ではm=-4/3が存在しますので軌跡に含む。
となります。
この点(-4,-3)は実数mが存在しなので、実数mの存在条件を満たしません。

軌跡は(X,Y)を一般の座標(x,y)で置き換えて
(x-5)^2+(y-9)^2=15^2,ただし、(x,y)=(-4,-3)を除く
となります。

回答No.1

alice_44

m が虚数だと、２「直線」にならないからです。