軌跡と領域

質問

軌跡と領域

軌跡
条件を満たす点Ｐの軌跡が図形のＦ上であることを示すには、次の２つのことを証明する。
１条件を満たす任意の点Ｐは、図形のＦ上にある。
２図形のＦ上の任意の点Ｐは、その条件を満たす。

教えてほしいところ
１番だけ証明すればいいような気がしてならないんですが、なぜ２番も証明する必要があるんでしょうか？？

論理的に教えて下さい

回答No.12

naniwacchi · ベストアンサー

#11です。

人間が古いので、ネタも古くなってしまって申し訳ないのですが。＾＾；

質問者さんの書かれていた「図形Ｆ」に関する記述は、教科書にきちっと書かれていますね。（数研出版の古い教科書にて）
そこには、補足するような形で以下のような記述もありました。
「２については、１の計算を逆にたどることによって、その成り立つことが明らかな場合、２の証明を省略することがある。」

軌跡に関しては、この内容に従うべきだと思います。
単に満たす式（方程式）だけでは、ほんとに軌跡となる図形ではないからです。
（通らない点まで含まれてしまう。）

また、軌跡と軌跡の方程式についてですが、
「大学への数学」（の古い本）において以下の記述がありました。
------------------------------
軌跡と、軌跡の方程式
問題が「軌跡を求めよ」という要求なら、軌跡の限界を考慮しなければならないが、「軌跡の方程式を求めよ」という要求ならば、その必要はなく、必要条件によって、単に方程式を求めるだけでよい、というのが慣習である。
------------------------------

「軌跡の限界」というのが、先の定義域・値域といっていた内容に当たりますね。

軌跡であっても、軌跡の方程式であっても、「軌跡の限界」は考慮した方がよいと思います。
（軌跡の方程式と書かれていて、軌跡の限界を考慮しても減点にはならないかと。）
設問にもよりますが、「図示せよ」となっていれば、必然的に軌跡の限界は考慮することになりますよね。

回答No.11

alice_44

例えば、点 A(1,0) と B(-1,0) が与えらていて、
∠APB = 90°であるような点 P の「軌跡の方程式を求めよ」
と言われた場合、以下のうちのどれを答えますか？

(a)　x^2 + y^2 = 1 ただし y≠0
(b)　x^2 + y^2 = 1
(c)　(x^2 + y^2 - 1)(x^2 + y^2 - 4) = 0

特に、(b) と (c) がどう違うのかをよく考えると、
(b) ではなくて (a) が正解となる理由が見えてくると思います。
「方程式を求めよ」だから「式」を書く、十分性は確認不要…
という基準では、相当とんでもない物も答えになってしまう事が。

回答No.10

naniwacchi

#1です。

いろいろと意見が飛び交っていたようですが、質問者さんはどう考えられていますか？
少し混乱されているもかもしれませんね。＾＾；

途中から「軌跡」と「軌跡の方程式」の話になってますね。
#5さんが言われている中で、
・「軌跡の方程式」というのは、点Ｐの座標 (x, y)について「その xと yが満たしている式」という意味
・そして、「軌跡」というのは、上の方程式に加えて「定義域・値域もふまえたもの」という意味

になると解釈しました。

このように書きならべてみると、
「軌跡の方程式」とは、「単に」 xと yが満たしている式のことだから、定義域・値域は別に考えなくてもいいんですよね。
ってことが見えてくるように思います。

ただ、
「軌跡の方程式も定義域・値域をきちんと考えないといけない」
と考えていると、違ってきますよね。
これが #6さんの解釈だと思います。
わたしもこちらの方が「無難」だと思います。

もともとの質問では「図形」となっていますが、これは「軌跡」になると思います。
（定義域・値域という「範囲」も含めて、その形が決まるから）
ですので、「２図形のＦ上の任意の点Ｐは、その条件を満たす。」の証明も必要になると思います。

回答No.9

alice_44

スレッドが、この手の荒れかたをすると、
バッサリ削除される可能性がある。
それ以前に、質問者が混乱するだろう。
今回の争点は、いわゆる「軌跡の問題」では
非常に重要なポイントだから、
身近で、学校か塾の先生に質問して、
どちらが正解か、ちゃんと理解しておくべき。
曖昧にしておくと、後で泣くよ。

回答No.8

alice_44

世間と異なる独自の解釈をするのは勝手だが、
質問者を巻き込んで迷惑をかけるのは、
どうかと思う。

回答No.7

japaneseda

NO 5

の回答は正しいと思います！

楕円の式が出たときは、一般的な文系生は、２はできないと思います。

なので、軌跡の方程式を求めよ　と云う問題がでたら、条件を作り　式が出た瞬間にそれが答えなのでは？

もちろん軌跡を求めよ　なら　１・２　両方必要になります。

理由。
１だけでは、必要条件になるから。
２で、初めて十分条件になります。

回答No.6

alice_44

No.5 の解釈は、試験などでは認められない。
質問者が高校生・受験生であれば、要注意。
痛い目に遭うよ。

回答No.5

mister_moonlight

質問者も回答者も誤解している。

設問が「軌跡の方程式をもとめよ」という問題なら、「1」だけでよい。
しかし、設問が「軌跡を求めよ」という問題なら、「2」への配慮が必要。理由は簡単。
求める軌跡が、求めた軌跡の方程式の全ての図形上であるとは限らないから。
条件次第では、軌跡から除外される部分(または、点)がある場合がある。

回答No.4

Anti-Giants

http://kotobank.jp/word/%E8%BB%8C%E8%B7%A1
『一定の条件を満足しながら動く点や線が描く図形。図形Fが条件Aを満たす軌跡であることを証明するには，1.Aを満たす任意の点はF上にある（必要条件），2.F上の任意の点はAを満たす（十分条件），の二つを証明しなければならない。※本文は出典元の用語解説の一部を掲載しています』

＞＞図形のＦ上
　「図形Ｆの上」というべきでは？
　「Ｆ上」という特殊な条件かと思いました。

＞＞条件を満たす点Ｐの軌跡が図形のＦ上である
　条件を満たす点Ｐの軌跡が図形Ｆである、の勘違いでは？
　「条件を満たす点Ｐの軌跡が図形Ｆの上である」ということなら、上記の（必要条件）だけを言っているにすぎません。

回答No.3

naniwacchi

#1です。

添付に失敗したようなの再度回答します。
（たいした図ではないので、恐縮ですが）

回答No.2

alice_44

論理的に質問してください。

「Pの軌跡がF上にある」ことを示すには、
1 のみを示せば十分であり、
「Pの軌跡がFである」ことを示すには、
1 と 2 を示す必要があります。

「Pの軌跡がF上である」って、いったい…？