軌跡と方程式について。

質問

軌跡と方程式について。
夏休みの課題で軌跡と方程式の問題が出ました…
まだ習っていないのと、回答がないので、
全く分かりません…が、完全に解いて提出
しなければならないので、教えてください。

次の条件を満たす点Pの軌跡の方程式を求めよ。
２点A（１，０），B（－２，３）から等距離にある点P

他にも問題はたくさん出されているのですが、
とりあえず上記の問題を例に解説して頂けると有り難いです。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

[1] まず教科書を読む
とりあえず教科書か何かを読んで、
「軌跡」がどんなものなのかを理解してください。
それをしないと多分解説を読んでもわからないと思います。

[2] 問題をよく読む

[3] xy座標上に、問題文の通りに点Pの軌跡を描いてみる
まずは図を描きます。
その上で答えがどんな図形になるのか調べて見ましょう。

すでにたくさん軌跡の問題を解いている人には
このステップは不要かもしれません。
初めて軌跡を学ぶ人に関しては、絶対に図を描いた方が良いです。

[4] [3]で描いた図を元に問題を解く
[3]で描いた図を参考にしながら、点Pの軌跡を求めます。
この時特にひねるようなことはなくて、問題文通りに式を立てれば解けます。

解く際は点Pの座標を適当な文字式でおいて考えます。
例えば点P = (s, t)とでもおきます。
この時、点Pのx座標sとy座標tの間に成り立つ関係式を求めます。
この関係式が、「点Pが描く軌跡の式」となります。

例 : A(1, 2)，B(3, 4)から等距離にある動点Pが描く軌跡を求める

(1)xy座標上に点Aと点Bをうち、動点Pの軌跡を描いてみる
描くときはフリーハンドでかまいません。
ある程度大雑把でもよいですが、
正確に描けるところは正確に描いたほうがよいです。
描いてみると、点Pの軌跡は直線っぽいという予測が立ちます。

(2)点Pの座標を(s, t)とおきます。

(3)「A(1, 2)，B(3, 4)から等距離にある動点P」を式で表します。
これは素直に考えてあげるとAPとBPが等しいということなので
AP = BP
となります。

この形のままだと、点Pのx座標sとy座標tの間に成り立つ関係が分かりにくいです。
そこでAPとBPをsとtを用いてあらわし（(4)の手順）、
sとtの関係式を作ります（(5)の手順）。

(4) (1)の図を参考に、AP, BPを同点Pの座標(s, t)を用いてあらわしてみます。
二点間の距離は三平方の定理を利用して求められますよね？
それを使ってあげます。
すると
AP = √{ (s - 1)^2 + (t - 2)^2 }
BP = √{ (s - 3)^2 + (t - 4)^2 }
となります。

(5) (3)の関係式に(4)の結果を代入

AP = BP
↓
√{ (s - 1)^2 + (t - 2)^2 } = √{ (s - 3)^2 + (t - 4)^2 }

これで動点Pのx座標sとy座標tの関係式が得られました。
ただ、この式の形のままだとどんな図形を表すのか分かりにくいです。
そこで式整理します。

(6) (5)の関係式を整理する

√{ (s - 1)^2 + (t - 2)^2 } = √{ (s - 3)^2 + (t - 4)^2 }
両辺を2乗して(なぜ両辺を2乗してよいのかはちゃんと考えてください)
(s - 1)^2 + (t - 2)^2 = (s - 3)^2 + (t - 4)^2
展開して
s^2 - 2s + 1 + t^2 - 4t + 4 = s^2 - 6s + 9 + t^2 - 8t + 16
s^2 - 2s + t^2 - 4t + 5 = s^2 - 6s + t^2 - 8t + 25
全ての項を左辺に移項すると
4s + 4t - 20 = 0
全項4で割り切れるので4で割ると
s + t - 5 = 0

同点Pのx座標sとy座標tの間にはs + t - 5 = 0という関係が成り立ちます。
これは直線x + y - 5 = 0を意味します。
よって点Pが描く軌跡は直線x + y - 5 = 0となります。

今回はたまたま直線になりましたが、
問題によっては答えが放物線になったり円になったりすることもあります。
でもやっぱり基本的な解き方は同じです。

お礼

教科書は大まかに書かれていて分からなかったので質問したのですが
もう１度読み直してみようと思います。
たくさんありがとうございました

回答No.1

Anti-Giants

２点A（１，０），B（－２，３）から等距離にある点P = (x,y)
⇔ PA = PB
⇔ (x-1)^2 + y^2 = (x+2)^2 + (y-3)^2