軌跡

質問

[問題]
単位円周上に2点A,Bがある。ただし、動径OAとOBの表す角はそれぞれ　π/3と5π/6とする。このとき、2点A,Bからの距離の比が2:3である点Pの軌跡を求めなさい。

ここで点Pを(x,y)とおきました。　この点PからA,Bの距離の比の関係式の求め方（つまり軌跡）がわかりません。　どなたか教えてください。

回答No.3

info22

アドバイスを貰って、最後の答えまでたどり着けない場合は、行き詰っている所までの途中計算を補足に書いた上で、行き詰っている箇所を補足質問して下さい。解答を作るのは回答者でなく質問者が作らないといけません。

#1さんのやり方の式から軌跡の方程式が求まりますが、式が複雑で円の標準形
(x-xo)^2+(y-yo)^2=r^2
に変換しにくいので円のの方程式であることが分かりづらいですね。
http://www.synapse.ne.jp/dozono/math/anime/kiseki.htm
この最初の解答のやり方ですね。
2番目の解答にある内分点、外分点を求めて、そこから円の中心と半径を求めると、円の標準形が導きやすいですね。
（円は#1さんが言及されているアポロニウスの円になります。）

アポロニウスの円の参考URL
2点A,Bからの距離の比が m：n　である点Pの軌跡は、線分ABを m：nに内分、外分する点をC,Dとおくと、CDを直径とする円となる。（m:n=1:1の時は垂直2等分線）
http://www.ies.co.jp/LoveMath/2nd_grade/apolon-j/apolon-j.html
http://kurihara.sansu.org/sansu1-2/236.html

アポロニクスの円を基礎知識として覚えておいて下さい。解答の見通しがよくなります。

問題に戻って線分ABを2:3に内分、外分する点C,Dを求める。
A(cos(π/3),sin(π/3))=(1/2,(√3)/2)
B(cos5π/6),sin(5π/6))=(-√3)/2,1/2)
内分点C(xc,yc)
xc={3cos(π/3)+2cos(5π/6)}/(2+3)=(3-2√3)/10
yc={3sin(π/3)+2sin(5π/6)}/(2+3)=(2+3√3)/10
外分点D(xd,yd)
xd={3cos(π/3)-2cos(5π/6)}/(3-2)=(3+2√3)/2
yd={3sin(π/3)-2sin(5π/6)}/(3-2)=(3√3-2)/2

軌跡の円の半径r,中心の座標(xo,yo)を求める。
r=(1/2)√{(xd-xc)^2+(yd-yc)^2}=
xo=(xc+xd)/2=
yo=(yc+yd)/2=
　↑上で求めたxc,yc,xd,ydを代入するだけなので計算できますね。

軌跡の円の方程式は、上で求めたr,xo,yoを円の標準形の方程式に代入すれば良いでしょう。

(x-xo)^2+(y-yo)^2=r^2

回答No.2

gerard1981

No.1の投稿者です。

式を整理してないのでなんともいえないですが、除外すべき点があるかもしれないです。
(ただし、点Aを除く、みたいな。)
なので、実際になんとなく作図してみて確かめてください。

興味があれば「アポロニウスの円」ってのをググってみてください。
整理した答えがあってるかどうかもなんとなくわかるかも。

補足

いちよう、No,1の回答された方が投稿してくださったところまでは解けているのですが、その先整理ができなくてごたごたになっています。　　　　　問題の解答をされてくださる方を募集いたします。

回答No.1

gerard1981

A(1/2 , √3/2) B(-√3/2, 1/2)

AP:BP = 2:3 ⇒ AP^2:BP^2 =4:9
⇒9*AP^2 = 4*BP^2
⇒9*〔(x-1/2)^2 + (y-√3/2)^2〕=4*〔(x+√3/2)^2+(y-1/2)^2〕

あとは自分ででやってみてください。